Zeigen , dass der Schnitt der beiden Äquivalenzrelationen ≡3 und ≡5 gleich ≡15 ist.

Question

Aufgabe:

Für n > 1 betrachten wir die Äquivalenzrelation ≡n⊆ Z × Z mit
a ≡n b ⇔df n|(a − b)
Zeigen, dass der Schnitt der beiden Äquivalenzrelationen ≡3 und ≡5 gleich ≡15 ist.

Hinweis: Wir setzten voraus, dass ≡15 eine Äquivalenzrelation ist. Dies muss nicht explizit gezeigt
werden.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das machen?

Answer 1

Die Vorschrift definiert als Äquivalenz die Kongruenz nach dem Modul n.

Aus der Zahlentheorie sollte bekannt sein, dass aus \(a \equiv b mod 3\)

 und  \(a \equiv b mod 5\) auch  \(a \equiv b mod 15\) folgt.

Comments

Ich habe das verstanden aber weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Es wäre sehr nett von Ihnen,wenn Sie das genauer zeigen könnten.

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\(a \equiv b mod 3\) bedeutet: Es gibt ein k∈Z mit  b=a+k*3 bzw. b-a=k*3

bzw. 3|(b-a).

\(a \equiv b mod 5\) bedeutet: Es gibt ein m∈Z mit  b=a+m*5

bzw. b-a=m*5 bzw. 5|(b-a).

Aus 3|(b-a) und 5|(b-a) und ggt(3;5) =1 folgt    3*5|(b-a)