Aloha :)
Die Behauptung lautet:$$\sum\limits_{k=2}^n(k-1)\cdot\log\left(\frac{k}{k-1}\right)=n\log(n)-\log(n!)\quad;\quad n\ge2$$
Verankerung bei \(n=2\):$$\sum\limits_{k=2}^2(k-1)\cdot\log\left(\frac{k}{k-1}\right)=1\log\left(\frac21\right)=\log(2)=2\log(2)-\log(2!)\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \(n+1\):$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}(k-1)\cdot\log\left(\frac{k}{k-1}\right)=n\log\left(\frac{n+1}{n}\right)+\sum\limits_{k=2}^n(k-1)\cdot\log\left(\frac{k}{k-1}\right)$$Wir setzen nun die Behauptung als Induktionsvoraussetzung ein:$$\qquad=n\log\left(\frac{n+1}{n}\right)+n\log(n)-\log(n!)$$$$\qquad=n\cdot(\,\log(n+1)-\log(n)\,)+n\log(n)-\log(n!)$$$$\qquad=n\log(n+1)+\underbrace{n\log(n)-n\log(n)}_{=0}-\log(n!)$$$$\qquad=n\log(n+1)-\log(n!)$$$$\qquad=n\log(n+1)+\underbrace{\log(n+1)-\log(n+1)}_{=0}-\log(n!)$$$$\qquad=(n+1)\log(n+1)-\left(\,\log(n+1)+\log(n!)\,\right)$$$$\qquad=(n+1)\log(n+1)-\log(\,(n+1)\cdot n!\,)$$$$\qquad=(n+1)\log(n+1)-\log(\,(n+1)!\,)\quad\checkmark$$
