Gleichmächtigkeit beweisen mit bijektiven Funktionen

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Teil-Aussagen jeweils mit einem detaillierten Beweis.

1) \( (\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\},\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 3\} \cup\{x \in \mathbb{R} \mid 6<x \leq 8\}) \)

Problem/Ansatz:

f: M ->N, mit f(x)=x+?, falls x<=0,5

                        6+?, falls x>0,5

                         ?  , sonst

ich komme bei der folgenden Aufgabe leider nicht wirklich weiter, es wäre nett wenn jemand eine Idee geben könnte wie man das lösen könnte.

MfG!

Answer 1

Wenn ich dich richtig verstanden habe, sollst du eine Bijektion von \( [0,1] \) nach \( [2,3] \cup[6,8] \) finden. Eine Möglichkeit wäre z.B.

\( f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x+2,\; x \in\left(0, \frac{1}{2}\right) \\[5pt] 4 x+4, \;x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right) \\[5pt] 2, \;x=0 \\[5pt] 8, \;x=1 \end{array}\right. \)