Sei (cn)n∈ℕ eine Nullfolge und |an - a| ≤ cn für alle n ∈ ℕ.
Weil (cn)n∈ℕ eine Nullfolge ist, gibt es zu jedem ε>0 ein N
mit n>N ==> |cn - 0 | < ε also |cn | < ε .
Da |an - a| ≤ cn für alle n ∈ ℕ gilt, sind die cn alle
nicht negativ, also gilt |cn| = cn . Damit hat man:
Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==> cn < ε .
also wegen |an - a| ≤ cn auch |an - a| < ε.
Nach Def. des Grenzwertes ist also dann a der
Grenzwert der Folge (an)n∈ℕ.
Mit Sandwich-Argument wohl so:
Für alle n ∈ ℕ gilt |an - a| ≤ cn
==> -cn ≤ an - a ≤ cn
-cn und cn gehen beide gegen 0, also auch an - a.
Damit geht an gegen a.