Question

Beweisen von Konvergenz Kriterien:

Sei (c_n)_n∈ℕ eine Nullfolge und |a_n - a| ≤ c_n für alle n ∈ ℕ. Dann gilt \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = a.

Hierzu soll ich das Sandwichkriterium verwenden.

Darf ich dann einfach sagen |a_n - a | ≤ c_n ≤ c_n * a ?

und das was ich hier bewiesen habe soll ich dann hier nochmal verwenden:

ich soll Überprüfen, dass : \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (n-1)/(n+1) = 1

wie genau soll ich das dann hier verwenden?

Answer 1

Sei (cn)n∈ℕ eine Nullfolge und |an - a| ≤ cn für alle n ∈ ℕ.

Weil (cn)n∈ℕ eine Nullfolge ist, gibt es zu jedem ε>0 ein N

mit n>N ==>  |cn - 0 | < ε  also   |c_n | < ε .

Da |an - a| ≤ cn für alle n ∈ ℕ gilt, sind die cn alle

nicht negativ, also gilt |cn| = cn . Damit hat man:

Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==> c_n < ε  .

also wegen |an - a| ≤ c_n auch |an - a| < ε.

Nach Def. des Grenzwertes ist also dann a der

Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ.

Mit Sandwich-Argument wohl so:

Für alle n ∈ ℕ gilt |a_n - a| ≤ c_n

==>    -c_n ≤ a_n - a ≤ c_n

-c_n und c_n gehen beide gegen 0, also auch  an - a.

Damit geht an gegen a.

Comments

Ahh, ich verstehe, haben sie Vielen Dank!

---

Das soll ich nun auf das untere von mir erwähnte anwenden, wie genau wende ich das da an?

---

Betrachte den Term  | (n-1) / (n+1)  - 1 | .

Das ist dann |an - a|.

und zeige, dass es eine Nullfolge cn gibt mit

                       | (n-1) / (n+1)  - 1 |  ≤ c_n

---

ja, habs gerade genauso gemacht habs verstanden, dennoch danke!