Finden von Nullfolgen durch Testen, oder mit bestimmten Weg?

Question

Ich soll 2 Nullfolgen finden, (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ mit b_n ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, so dass gilt:

(a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n/b_n = 0,

(b) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n/b_n = π

Ich weiß gerade nicht was genau der "finden" Operator beschreibt, darf ich hier einfach irgendeine Nullfolge für beide wählen bei der das passt, bzw. die Nullfolgen durchs stumpfe Testen herausfinden, oder gibts da einen bestimmten weg?

Answer 1

Man kann ja etwas gezielt suchen, um solche Folgen zu finden.

1. Einsicht: Wenn man für an und bn die gleiche Folge wählt,

bekommt man beim Quotienten den Grenzwert 1, weil

die Quotientenfolge dann eben konstant = 1 ist.

Das pi bekommt man also z.B. dann, wenn immer an = pi * bn ist,

also ginge dort bn = 1/n und an=π/n.

Und für die 0 muss der Zähler eben schneller gegen 0 gehen

als der Nenner. Probier mal !

Comments

Kann ich dann sagen für a) an = 1/n und bn = 1^n/1^n+1

ginge das so?