Zeigen Sie die folgenden Aussagen bzgl. Vektorräumen

Question

Seien \( \mathbb{K} \) ein Körper und \( V, W \) endlich-dimensionale Vektorräume über \( \mathbb{K} \).
Weiter sei \( \Phi: V \rightarrow W \) eine \( \mathbb{K} \)-lineare Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) \( \Phi \) ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge \( M \) von \( V \) das Bild \( \Phi(M) \) linear unabhängig in \( W \) ist.
b) \( \Phi \) ist genau dann surjektiv, wenn für jedes Erzeugendensystem \( M \) von \( V \) das Bild \( \Phi(M) \) ein Erzeugendensystem von \( W \) ist.
c) \( \Phi \) ist genau dann ein Isomorphismus, wenn für jede Basis \( M \) von \( V \) das Bild \( \Phi(M) \) eine Basis von \( W \) ist.

Answer 1

a) \( \Phi \) ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge \( M \) von \( V \) das Bild \( \Phi(M) \) linear unabhängig in \( W \) ist.

Sei  \( \Phi \) injektiv und M eine linear unabhängige Teilmenge von M

Da    \( \Phi \) endlich dimensional ist, ist auch M endlich etwa M = {v1, ..., vn }

und somit \( \Phi(M) \) = {  \( \Phi(v_1) , \dots , \Phi(v_n) \) }

Sei nun  \(   \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cdot \Phi(v_k )= 0  \) eine Linearkombination des Nullvektors von W.

Wegen der Linearität von \( \Phi \) folgt \(  \Phi(\sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cdot v_k)= 0  \)

Wegen der Injektivität also \( \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cdot v_k= 0  \)

Da M linear unabhängig ist also \( a_1 = a_2 =  \dots = a_n= 0  \)

Also \( \Phi(M) \) = {  \( \Phi(v_1) , \dots , \Phi(v_n) \) } lin. unabh.

Die Rückrichtung geht entsprechend.

Comments

Wie würden Sie b) lösen?

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Sei Φ surjektiv und M=\(  (v_1, \dots , v_n ) \) ein Erzeugendensystem
von V.

Um zu zeigen, dass das Bild von M ein Erzeugendensystem

von W ist, muss man zeigen, dass sich jedes w∈W als

Linearkombination von Elementen aus Φ(M) darstellen

lässt.  Sei also w∈W.

Da Φ surjektiv ist, gibt es ein v∈V mit Φ(v)=w.

Da M ein Erz.syst. von V ist, lässt sich v damit darstellen:

\(   v =\sum \limits_{i=1}^{n}  a_i \cdot v_i \)

==> \( w=f( v) = f(\sum \limits_{i=1}^{n}  a_i \cdot v_i )\)

wegen der Linearität \( = \sum \limits_{i=1}^{n}  a_i \cdot f(v_i )\)

Und die f(v_i) sind aus dem Bild von M.

Rückrichtung nicht vergessen !