Die Existenz einer linearen Abbildung zeigen.

Question

Existiert eine lineare Abbildung φ : ℝ² → ℝ² mit
1. φ(2, 3) = (2, 2), φ(2, 0) = (1, 1) und φ(6, 3) = (4, 3)?
2. φ(1, 3) = (2, 1), φ(2, 0) = (1, 1) und φ(5, 3) = (4, 3)?

Danke für die Antwort

Answer 1

1. Aus der Linearität würde folgen:

\(\varphi((6,3))=\varphi((2,3)+(2,0)+(2,0))=\varphi(2,3)+\varphi(2,0)+\varphi(2,0)=\)

\(=(2,2)+(1,1)+(1,1)=(4,4)\neq(4,3)\)

Also gibt es kein solches lineares \(\varphi\).

2. Hier klappt es wohl besser ?

Comments

Wie kommst du auf diesen Ausdruck ? Leider habe ich die Theorie von den linearen Abbildungen nicht in meinem Skriptum.

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Du weißt nicht, wann eine Abbildung linear heißt?
Wie willst du dann eine solche Aufgabe verstehen oder gar lösen?

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Eine Abbildung ist linear wenn sie homogen und additiv ist.

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Die Frage ist nur wie ich es herausfinden kann ob diese Abbildungen linear sind ?

Ich will mir sicher gehen, dass ich das richtig verstehe.

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Ja. Und genau die Additivität habe ich benutzt.

Du solltest einfach nochmal darüber nachdenken ;-)

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Ah okay danke jetzt leuchtets ein.

Also du hast dann die Abbildung φ(2,0) zwei mal genommen und hast es mit φ(2,3) addiert und gezeigt, ob wir damit die dritte Abbildung bekommen.

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Ich probiere das mit der zweiten Nummer. Wenn ich weiß, dass die Abbildung nicht additiv ist, muss ich ja dann nicht die Homogenität zeigen, weil sie ja eh nicht linear ist.

Answer 2

Eine lineare Abbildung φ : ℝ² → ℝ² mit

        φ(2, 3) = (2, 2), φ(2, 0) = (1, 1) und φ(6, 3) = (4, 3)

existiert genau dann, wenn für alle p, q, r ∈ ℝ gilt:

        Wenn p·(2, 3) + q·(2, 0) + r·(6, 3) = (0, 0) ist,
        dann ist p·(2, 2) + q·(1, 1) + r·(4, 3) = (0, 0).