Reihe auf Konvergenz berechnen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1* (5 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz und berechnen Sie ggf. ihren Grenzwert:
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \),
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{5}{4^{k+1}} \).

Problem/Ansatz: Hallo ich wollte mal fragen, ob das was ich berechnet habe richtig ist.

A) Die Reihe konvergiert absolut und der Grenzwert ist 0.

Habe das Majorantenkriterium genutzt und hatte am Ende 1/(n²+n) raus. Das ist kleiner gleich 1/n²  und somit kleiner als 1.

B) Die Reihe konvergiert absolut un der Grenzwert ist 1/4.

Habe das Quotientenkriterium genutzt und hatte am Ende 1/4 raus.

Comments

Der Grenzwert bei a) ist nicht 0, sondern 1.

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Ok stimmt der Rest für a und b?

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Du scheinst den Wert der Reihe mit dem Limes der Reihenglieder
bzw. dem Limes des Quotientenausdrucks im Quot.kriterium zu
verwechseln.

Für b) schau dir die Antwort von Gast2016 an.

Answer 1

b) 4^(k+1) = 4^k *4

Du kannst 5/4 vor die Summe ziehen und dann den Summenwert bestimmen von (-1/4)^k. (geometrische Reihe)

(Ergebnis: Summe hat den Wert 1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5Ek*5%2F%284*4%5Ek%29+from+0+to+infinite

Comments

Bedeutet das jetzt b ist falsch von mir und stimmt a?

Answer 2

Aloha :)

zu a) Betrachte zuerst die Summe bis zu einer Obergrenze \(N\) anstatt \(\infty\):$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\frac1n-\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^N\frac1n-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}=\left(\frac11+\sum\limits_{n=2}^N\frac1n\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{n}+\frac{1}{N+1}\right)$$$$\phantom{S_N}=1-\frac{1}{N+1}$$Damit haben wir den Grenzwert der Summe und seine Existenz gezeigt:$$S_\infty=\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1-0=1$$

zu b) Das ist eine geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{5}{4^{k+1}}=\frac54\sum\limits_{k=0}^\infty\left(-\frac14\right)^k=\frac54\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac14\right)}=\frac54\cdot\frac{1}{\frac54}=1$$