Ermittle sämtliche Zahlen z in C, die den folgenden Gleichungen genügen

Question

Aufgabe:

Ermittle sämtliche Zahlen \( z \in \mathbb{C} \), die den folgenden Gleichungen genügen:
(a) \( z^{4}=-16 \);
(b) \( z^{3}+3 i z^{2}-3 z-9 i=0 \) (Hinweis: kubische Ergänzung);
(c) \( z^{2}-3 z+3-i=0 \) (Hinweis: Der Ansatz \( (x+i y)^{2}=a+i b \) führt auf die Gleichungen \( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) und \( x^{2}-y^{2}=a \) zur Bestimmung von \( x \) und \( y \) ).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei diesen Gleichungen helfen??und danke im Voraus

Answer 1

a)   z^4 +16 = 0

(z^2 -4i) (z^2 + 4i) = 0

(z^2 = 4i  oder z^2 = -4i

z=√2 + i√2 oder z=-(√2 + i√2) oder z=√2 - i√2 oder z=-(√2 - i√2)

b) Betrachte \(  (z-i)^3 =z^3 - 3iz^2 -3z +i \)

War es vielleicht \( z^{3}-3 i z^{2}-3 z-9 i=0 \) 

also "minus " vor dem z^2 ?

Comments

Alternativ betrachte (z + i)³.

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Vor z² steht kein Minus

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Vielleicht hilft

z^3 + 3·i·z^2 - 3·z - 9·i = (z + 3·i)·(z^2 - 3)

weiter?