Aloha :)
Wir suchen die Extermwerte der Funktion:$$f(x)=2\sin(x)-x\quad;\quad x\in[0;2\pi]$$Kandidaten dafür finden wir dort, wo die erste Ableitung zu Null wird:$$0\stackrel!=f'(x)=2\cos(x)-1\implies\cos(x)=\frac12\implies x=\pm\arccos\left(\frac12\right)=\pm\frac\pi3$$Da wir die Extremwerte aus dem Intervall \([0;2\pi]\) suchen, nutzen wir die \(2\pi\)-Periode der \(\cos\)-Funktion aus und erhalten als Kandidaten:$$x_1=\frac\pi3\quad;\quad x_2=-\frac\pi3+2\pi=\frac53\pi$$Ob es sich bei den beiden Kandidaten tatsächlich um Extremwerte handelt, prüfen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung:$$f''(x)=-2\sin(x)$$$$f''(\frac\pi3)=-\sqrt3<0\implies\text{Maximum}$$$$f''(\frac53\pi)=\sqrt3>0\implies\text{Minimum}$$
~plot~ 2*sin(x)-x ; {pi/3|sqrt(3)-pi/3} ; {5*pi/3|-sqrt(3)-5pi/3} ; [[0|7|-8|1]] ~plot~
Streng genommen gibt es zwei weitere Extremwerte an den Rändern des Definitionsbereichs, also bei \(x=0\) und bei \(x=2\pi\). Falls solche "Randextrema" gerade Thema bei euch sind, würde ich diese mit anführen.
