Aloha :)
Vorbereitung:
Wir betrachten zuerst zwei unabhängige und Poisson-verteilte Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\):$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}\quad;\quad P(Y=k)=\frac{\mu^k}{k!}\,e^{-\mu}\quad;\quad k\in\mathbb N_0\quad;\quad \lambda,\mu\in\mathbb R^+$$Die Wahrscheinlichkeitsveteilung der Summe \(Z\coloneqq X+Y\) ist dann:$$P(Z=z)=\sum\limits_{k=0}^zP(X=k\,\land\,Y=z-k)=\sum\limits_{k=0}^zP(X=k)\cdot P(Y=z-k)$$In der ersten Summe gehen wir alle Kombinationen von \(X\) und \(Y\) durch, deren Summe gleich \(Z\) ist. Wegen der Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen können wir das in der zweiten Summe als Produkt schreiben. Nun formen wir ein wenig um$$P(Z=z)=\sum\limits_{k=0}^z\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}\cdot\frac{\mu^{z-k}}{(z-k)!}\,e^{-\mu}=e^{-\lambda}\,e^{-\mu}\sum\limits_{k=0}^z\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{\mu^{z-k}}{(z-k)!}$$$$\phantom{P(Z=z)}=e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\frac{1}{k!\cdot(z-k)!}\cdot\lambda^k\cdot\mu^{z-k}=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\frac{z!}{k!\cdot(z-k)!}\cdot\lambda^k\,\mu^{z-k}$$Beachte, dass wir bei der letzten Summe in den Zähler ein \(z!\) geschrieben haben und dies durch den Faktor \(\frac{1}{z!}\) vor der Summe kompensiert haben. Die Idee dahinter ist, den Bruch mit den Fakultäten als Binomialkoeffizient zu schreiben, um abschließend den binomischen Lehrsatz anwenden zu können.$$P(Z=z)=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\binom{z}{k}\lambda^k\,\mu^{z-k}=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu)^z=\frac{(\lambda+\mu)^z}{z!}\,e^{-(\lambda+\mu)}$$Die Summe \(Z=X+Y\) ist also Poisson-verteilt mit dem Parameter \((\lambda+\mu)\).
Zur Aufgabe:
Nun haben wir \(n\) unabhängige Zufallsvariablen \(X_i\) mit den Poisson-Parametern \(\lambda_i\). Nach dem oben Gezeigten weden diese \(\lambda_i\) bei der Summenbildung der Zufallsvariablen addiert:$$P(S_n=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\quad;\quad\lambda\coloneqq\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n$$
Die Verteilungsfunktion ist ensprechend:$$F(S_n\le N)=\sum\limits_{k=0}^NP(S_n=k)=e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^N\frac{\lambda^k}{k!}$$
