Erwartungswert einer Poissonverteilung

Question

Guten Tag, liebe Community. Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es sei X ~ Pois(λ) eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ>0.

Zeigen Sie, dass E[|X-λ|] = \( \frac{2 λ^{λ} e^{-λ}}{(λ-1)!} \).

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich erhalten:E[|X-λ|]= \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(k-λ) e^{-λ} \frac{λ^{k}}{k!}} \).

Stimmt das bisher? Falls ja muss ich ja jetzt zeigen: \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(k-λ) e^{-λ} \frac{λ^{k}}{k!}} \) = \( \frac{2 λ^{λ} e^{-λ}}{(λ-1)!} \) und hier komme ich nicht weiter. Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Comments

In die Summe gehört der Betrag. Dann musst du eine Fallunterscheidung machen.

Answer 1

Ich schreibe mal m statt lambda. Nach dem Hinweis musst Du die Reihe aufspalten. Der erste Teil wäre (bis auf den Faktor e^(-m)):

$$\sum_{k=0}^{m-1}(m-k)\frac{m^k}{k!}=m\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m^k}{k!}-\sum_{k=1}^{m-1}\frac{m^k}{(k-1)!}=m\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m^k}{k!}-m\sum_{k=0}^{m-2}\frac{m^k}{k!}=\frac{m^m}{(m-1)!}$$

Analog ist der zweite Teil zu bearbeiten.