Berechne den Schnittpunkt S der beiden Geraden.

Question

Aufgabe:

Die gerade h verbindet die beiden Punkte P (4, -3, 0) und Q (0, 0, 4) . Eine weitere Gerade g ist gegeben durch die Vektordarstellung

g : \vec{a}  \( \begin{pmatrix} -13\\12\\-31/4 \end{pmatrix} \)  + r * \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\21/4 \end{pmatrix} \)

Berechne den Schnittpunkt S der beiden Geraden.

Ich habe aus den beiden Koordinaten eine Vektordarstellung gemacht und dann beide gleichgesetzt - ohne, dass ich

b1 - a1; b2 - a2 ... PQ \( \begin{pmatrix} -4\\3\\4 \end{pmatrix} \) gerechnet habe ... dabei bin ich auf den Schnittpunkt [14; -15; 39,5] gekommen.

PQ aufgestellt ergibt demnach :

\( \begin{pmatrix} 4\\-3\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Hallo Clemens,

bei solchen Aufgabe ist es eine prima Kontrolle, die Punkte und Vektoren aus der Aufgabe und sein Ergebnis im Geoknecht3D einzutragen.

... dabei bin ich auf den Schnittpunkt [14; -15; 39,5] gekommen.

dann würdest Du auch sehen, dass Du mit dem Ergebnis völlig daneben liegst.

Die Geradengleichung für \(h\) ist$$h:\quad \vec x = \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 4\end{pmatrix} $$Die für \(g\) ist bereits gegeben. Gleichsetzen und vereinfachen gibt$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 4\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-13\\ 12\\ -7.75\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}3\\ -3\\ 5.25\end{pmatrix}\\s\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 4\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ -5.25\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-17\\ 15\\ -7.75\end{pmatrix}\end{aligned}$$Jetzt löst man das Gleichungssystem für die ersten beiden Koordinaten:$$\begin{pmatrix}-4& -3\\ 3& 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s\\ r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17\\ 15\end{pmatrix}$$Die Lösung ist \(s=2\) und \(r=3\). Einsetzen in die dritte Koordinate gibt$$2\cdot 4 + 3\cdot (-5.25) = -7.75 \space \checkmark$$Die Lösung erfüllt auch die dritte Gleichung. D.h. der Schnittpunkt \(S\) existiert:$$h(s=2) = S =\begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + 2\cdot\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 8\end{pmatrix}$$Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Der angebliche Schnittpunkt [14; -15; 39,5] liegt nicht auf PQ.

Comments

Wie komme ich denn auf den Schnittpunkt ?

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Vermutlich, indem du die Gleichung für PQ richtig aufstellst.

Und bevor jetzt die Rückfrage "Was soll dennn falsch sein" kommt: Das können wir mangels Informationen deinerseits noch nicht wissen.

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Jetzt müsste es klar sein