Ist {A, B , C } unabhängig?

Question

Aufgabe:

(a) Zwei faire Würfel werden geworfen. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse.
A = der erste Würfel zeigt eine gerade Zahl
B = der zweite Würfel zeigt eine gerade Zahl
C = die Summe der beiden Augenzahlen ist gerade
Untersuchen Sie jedes Ereignispaar auf Unabhängigkeit. Ist {A, B , C } unabhängig?

Problem/Ansatz:

Ω = {1,...,6} ×{1,...,6} = {(ω1,ω2) | ωi ∈{1,...,6} für i = 1,2}

Im Laplace-Modell gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines zweifachen
Wurfes gegeben ist durch P({(ω1,ω2)}) = 1/36 für alle (ω1,ω2) ∈ Ω.

Seien A =“beim ersten Wurf < 4“ und B =“beim zweiten Wurf ≥3“.
A = {(ω1,ω2) ∈Ω : ω1 < 4}, |A| = 18, P(A) = 1/
B = {(ω1,ω2) ∈Ω : ω2 ≥3}, |B| = 24, P(B) = 2/3
A∩B = {(ω1,ω2) ∈Ω : ω1 < 4,ω2 ≥3}, |A∩B| = 12, P(A∩B) = 1/3
Es folgt P(A∩B) = P(A)P(B), also sind A und B unabhängig

wie kann ich da C mit einbauen

Comments

Hast Du eventuell 2 Aufgaben durcheinander gebracht?

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Ich denke auch. Die Aufgabe “Untersuchen Sie jedes Ereignispaar auf Unabhängigkeit. Ist {A, B , C } unabhängig?” Hab ich nicht ganz hingekriegt und dann diesen Ansatz zusammengebaut, weiß aber nicht ob der passt/ richtig ist

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Was soll da passen? Du verwendest doch 2 verschiedene Definition der Ereignisse A und B??

Answer 1

Du kannst \(C\) einbauen indem du in die Definition von stochastischer Unabhängigkeit nachschaust. Die lautet ungefähr so:

Definition. Die Menge \(M\) ist stochastisch unabhängig wenn für jede nichtleere endliche Teilmenge \(T\subseteq M\) gilt:

        \(P\left(\bigcap\limits_{A\in T}A\right) = \prod\limits_{A\in T}P(A)\).

Answer 2

Hallo,

mit den Angaben aus der Aufgabe wäre das:

A: 1, Würfel zeigt 2,4,6. 2. Würfel beliebig: 18 Möglichkeiten. P(A)=0.5

B: Analog P(B)=0.5

C: Wenn der 1. Würfel eine gerade Zahl zeigt, muss der 2. ebenfalls eine gerade Zahl zeigen. Wenn der 1. Würfel eine ungerade Zahl zeigt, muss der 2. ebenfalls eine ungerade Zahl zeigen. Möglichkeiten 6*3=18. P(C)=0.5

A + C (Ich schreibe + statt Durchschnitt): 3 Möglichkeiten für den 1. Würfel, dazu jeweils 3 Möglichkeiten für den 2. 9 Möglichkeiten P(A+B)=0.25=P(A)*P(C). Also Unabhängigkeit.

B+C: Analog

A+B: 3*3 Möglichkeiten, P(A+B)=0.25=P(A)*P(B). Also Unabhängigkeit.

A+B+C: 3*3 Möglichkeiten (wenn beide Würfel eine gerade Zahl zeigen, ist C automatisch gegeben). P(A+B+C)=0.25, aber P(A)*P(B)*P(C)=0.125. Also keine Unabhängigkeit.

Gruß Mathhilf