Wie beweise ich das ≠3 für die Funktionen gilt?

Question

Aufgabe:

Gegben Funktion f : ℝ\{-3} -> ℝ mit f(x) =  \( \frac{2x+7}{x+3} \)

es soll gezeigt werden, dass f(x) = 2+\( \frac{1}{x+3} \) für alle x ∈ ℝ\ {-3}

gilt

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich nun das ≠3 für die Funktionen gilt?

Mein Ansatz: Per Polynomdivision von (2x+7):(x+3)=2+\( \frac{1}{x+3} \)

weiter komme ich aber auch nicht

Answer 1

Du sollst nicht zeigen, dass man für x nicht -3 einsetzen darf. Das ergibt sich daraus das für x = -3 der Nenner 0 wird und man durch 0 nicht teilen darf.

$$\frac{2x+7}{x+3} = \frac{2x+6+1}{x+3} = \frac{2x+6}{x+3} + \frac{1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}$$

Du kannst das auch mit der Polynomdivision machen. Dann erwartet der Lehrer aber auch die einzelnen Schritte.