Soll ich dann zeigen, dass dieser Raum vollständig ist, das heißt jeder ihrer Folgen konvergiert?

Question

Hallo alle zusammen,

ich hänge gerade an einer Aufgabe, mache gerade eine kleine Wiederholung.

Ich soll zeigen, dass der Raum C1([a,b], ℝ ) versehen mit der Norm || f ||_C1 = || f ||_∞+ ||f´||_∞ ein Banachraum ist.

Laut Definition ist ein Banachraum ein vollständiger, normierter Vektorraum. Soll ich dann zeigen, dass dieser Raum vollständig ist, das heißt jeder ihrer Folgen konvergiert?

Wenn ja bräuchte ich einen Ansatz .

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Gruß

Comments

" ... das heißt jeder ihrer Folgen konvergiert? ..."

Du meinst sicher: jede ihrer Cauchy-Folgen konvergiert.

Ja, du musst 1. zeigen, dass hier eine Norm vorliegt und dass

der Raum 2. vollständig bzgl. dieser Norm ist.

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Okey, also nehme ich eine Folge f_n, die  eine Cauchy Folge in dem angegebenen Raum ist, das heißt ja eigentlich, die Definition von der Cauchy Folge anwenden : Also zu zeigen:

|| f_n-f_m ||_∞ + || f_n´- f_m´||_∞ < ε , aber weiter komme ich leider nicht. weil die Ableitung mich hier stört.

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Folgere, dass \(f_n\) und \(f_n'\) Cauchyfolgen sind

und bedenke, dass beides Folgen stetiger Funktionen sind

und du dich auf einem kompakten Intervall befindest.

Betrachte die punktweisen Limiten der beiden Funktionenfolgen ...

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Also heißt das, dass f(x) = lim f_n(x)= lim f_n(a) aber auch lim f_n(b) für n→∞ ?

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Nein, sowas meine ich nicht.

Welche Sätze über gleichmäßig konvergente
Funktionenfolgen habt ihr und welche
Sätze über gleichmäßig konvergente Folgen
von deren Ableitungen ?