Berechnen Sie die Hintereinanderausführung g * f(e1)..

Question

Aufgabe:

b) Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch
\( f\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}\right), f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right), g\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}\right), g\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) . \)
Berechnen Sie die Hintereinanderausführung \( g \circ f\left(\vec{e}_{1}\right), g \circ f\left(\vec{e}_{2}\right) \) sowie \( f \circ g\left(\vec{e}_{1}\right), f \circ g\left(\vec{e}_{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Was genau wäre hier der Ansatz?

Answer 1

Hallo

stelle f(e1)=v1  als Linearkombination von e1, e2  dar, also (1,10)=e1+10e2

dann g(e1)+10g(e2)=g(f(e1))

entsprechend dann die anderen.

Gruß lul

Answer 2

\( g \circ f\left(\vec{e}_{1}\right) = g( f\left(\vec{e}_{1}\right) ) = g(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}\right)) = g( 1 \cdot \vec{e}_{1} + 10 \cdot \vec{e}_{2})\)

wegen der Linearität:

\(=1\cdot g(\vec{e}_{1} ) + 10 \cdot g(\vec{e}_{2} ) \)

\(=1 \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\4 \end{array}\right)+ 10 \cdot \left(\begin{array}{l}2 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}13 \\24\end{array}\right)\)  .  etc.

Answer 3

Aloha :)

Du hast hier die Bilder der Basisvektoren gegeben, und zwar für die Abbildung \(f\) und für die Abbildung \(g\). Daher kannst du die Abbildungsmatrizen sofort angeben, indem du diese Bilder als Spaltenvektoren in eine Matrix einträgst:$$F=\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\quad;\quad G=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}$$Der Rest ist nun Fleißarbeit bzw. Copy-Paste:$$g\circ f(\vec e_1)=G\cdot F\cdot\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\binom{1}{10}=\binom{21}{24}$$$$g\circ f(\vec e_2)=G\cdot F\cdot\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\binom{2}{3}=\binom{8}{14}$$$$f\circ g(\vec e_1)=F\cdot G\cdot\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\binom{1}{4}=\binom{9}{22}$$$$f\circ g(\vec e_2)=F\cdot G\cdot\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{pmatrix}\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\10 &3\end{pmatrix}\binom{2}{2}=\binom{6}{26}$$