Ableitungen der Hintereinanderausführung

Question

Aufgabe:

Hallo ich soll hier mit Hilfe der Kettenregel die Ableitungen der Hintereinanderausführungen berechnen, aber ich komme nicht wirklich weiter. Im großen und ganzen weiß ich wie ich vorgehen muss, aber die Beispiele hier haben mir Schwierigkeiten bereitet. Kann jemand mit mir die Aufgabe durchgehen?

Problem/Ansatz:

1) \( (f \circ g)^{\prime} \) mit \( f(x, y)=\mathrm{e}^{x y} \) und \( g(r, \varphi)=\left(\begin{array}{c}r \cos (\varphi) \\ r \sin (\varphi)\end{array}\right) \)

2) \( (f \circ g)^{\prime}(a, b) \) mit \( f(x, y, z)=2 x+y z \) und \( g(s, t)=\left(\begin{array}{c}s^{2}+2 t \\ s-t \\ 2 t\end{array}\right) \)
3) \( (g \circ f)^{\prime}(a, b) \) mit \( f(s, t)=\left(\begin{array}{c}2 s+t-1 \\ s-1 \\ t^{2}+2\end{array}\right) \) und \( g(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}x y \\ z-x\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

$$(f\circ g)'(r,\varphi)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r}}{\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \varphi}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial \varphi}}=\binom{ye^{xy}\cdot\cos\varphi+xe^{xy}\cdot\sin\varphi}{-ye^{xy}\cdot r\sin\varphi+xe^{xy}\cdot r\cos\varphi}$$$$\phantom{(f\circ g)'(r,\varphi)}=e^{r\cos\varphi\,r\sin\varphi}\binom{r\sin\varphi\cos\varphi+r\cos\varphi\sin\varphi}{-r\sin\varphi\, r\sin\varphi+r\cos\varphi\,r\cos\varphi}$$$$\phantom{(f\circ g)'(r,\varphi)}=e^{r^2\cos\varphi\,r\sin\varphi}\binom{2r\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\cos^2\varphi-r^2\sin^2\varphi}=e^{\frac {r^2}{2}\sin(2\varphi)}\binom{r\sin(2\varphi)}{r^2\cos(2\varphi)}$$

$$(f\circ g)'(s,t)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial s}}{\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial t}}=\binom{2\cdot2s+z\cdot1+y\cdot0}{2\cdot2+z\cdot(-1)+y\cdot2}$$$$\phantom{(f\circ g)'(s,t)}=\binom{4s+z}{4-z+2y}=\binom{4s+2t}{4-2t+2(s-t)}=\binom{4s+2t}{4+2s-4t}$$

$$(g\circ f)'(s,t)=\begin{pmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial g_1}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial g_1}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial g_1}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial g_1}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial g_1}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial t}\\[1ex]\frac{\partial g_2}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial g_2}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial g_2}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial g_2}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial g_2}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial g_2}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial t}\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(s,t)}=\begin{pmatrix}y\cdot2+x\cdot1+0\cdot0 & y\cdot1+x\cdot0+0\cdot2t\\[1ex](-1)\cdot2+0\cdot1+1\cdot0 & (-1)\cdot1+0\cdot0+1\cdot2t\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(s,t)}=\begin{pmatrix}2(s-1)+(2s+t-1) & s-1\\[1ex]-2 & 2t-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4s+t-3 & s-1\\[1ex]-2 & 2t-1\end{pmatrix}$$

Comments

Erstmal vielen vielen Dank für deine Erklärung!

Aber ich habe die 1. Aufgabe nicht ganz verstanden. Ich muss ja die Jacobi Matrix von f und die Jacobi Matrix von g multiplizieren, soweit verstanden. Aber wie ist man auf e^r2cos r (vor der Klammer) gekommen? Wieso hat man diesen Ausdruck herausgehoben? Die 1. rechnung habe ich nicht ganz verstanden

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Bei den ersten beiden Teilaufgaben habe ich den Gradienten angegeben. Streng genommen hast du Recht, müsste das ein Zeilenvektor sein. Aber in der Physik (wo ich herkomme) schreibt man Gradienten immer als Spaltenvektoren. Bei der dritten Teilaufgabe ist die "klassische" Jacobi-Matrix angegeben.

In der ersten Teilaufgabe musst du \(x=r\cos\varphi\) und \(y=r\sin\varphi\) substituieren, weil die Ableitungen nur von \(r\) und \(\varphi\) abhängen dürfen. Wenn du das einsetzt, erhältst du das dargestellte Ergebnis.

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Aber geht´s nicht einfacher? in der Angabe steht ja kettenregel, muss ich da substituieren?

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Die vorgeschriebene Verwendung der Kettenregel macht die Rechnung gerade so kompliziert. Hier hättest du tatsächlich substituieren können, um die Kettenregel zu sparen.

Bei der Aufgabe (2) hätte das dann so ausgesehen:$$(f\circ g)'=(\;2\underbrace{(s^2+2t)}_{=x}+\underbrace{(s-t)}_{=y}\underbrace{(2t)}_{=z}\;)'=(\;2s^2+4t+2st-2t^2\;)'$$$$\phantom{(f\circ g)'}=\binom{4s+2t}{4+2s-4t}$$