Aloha :)
Funktionen aus dem Vekorraum \(V\) können wir mit der Basis \((e^x;\cos(2x);\sin(2x))\) darstellen:$$f(x)=ae^x+b\cos(2x)+c\sin(2x)=\begin{pmatrix}e^x & \cos(2x) & \sin(2x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$Die Abbildungsvorschrift \(\partial\) bildet auf die Ableitung \(f'(x)\) ab:$$f'(x)=ae^x-2b\sin(2x)+2c\cos(2x)=ae^x+2c\cos(2x)-2b\sin(2x)$$In unserer Basis von oben sieht die Ableitung daher so aus:$$f'(x)=\begin{pmatrix}e^x & \cos(2x) & \sin(2x)\end{pmatrix}\left(\begin{array}{r}a\\2c\\-2b\end{array}\right)$$Damit können wir die Abbildung \(\partial\) als Matrix \(D\) darstellen:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto\left(\begin{array}{r}a\\2c\\-2b\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}0\\0\\-2\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{r}0\\2\\0\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\\0 & -2 & 0\end{array}\right)}_{\eqqcolon D}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$
Die Eigenwerte dieser Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1-\lambda & 0 & 0\\0 & -\lambda & 2\\0 & -2 & -\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)\cdot\underbrace{(\lambda^2+4)}_{\ge4}\quad\implies\quad \lambda=1$$Die Abbildungsmatrix hat also nur einen reellen Eigenwert \(\lambda=1\).
Eine Basis des zugehörigen Eigenraums finden wir durch Lösen des Gleichungssystems$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & 0 & \text{Operation}\\\hline 1-\lambda & 0 & 0 & 0 & \text{\(\lambda=1\) einsetzen}\\0 & -\lambda & 2 & 0 & \text{\(\lambda=1\) einsetzen}\\0 & -2 & -\lambda & 0 & \text{\(\lambda=1\) einsetzen}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & -1 & 2 & 0 & \\0 & -2 & -1 & 0 & -2Z_2\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & -1 & 2 & 0 &\cdot(-1) \\0 & 0 & 5 & 0 & \colon5\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 1 & -2 & 0 &+2Z_3 \\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 1 & 0 & 0 &\implies x_2=0\\0 & 0 & 1 & 0 &\implies x_3=0\end{array}$$Damit können wir alle Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda=1\) angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$
Eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert \(\lambda=1\) ist daher \((1;0;0)^T\).
