Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen als Grenzwerte der jeweiligen Differenzenquotienten

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen unter Verwendung der Definition, d.h. als Grenzwerte der jeweiligen Differenzenquotienten:

(a) f(x) = 1 , x ∈ R\{−2}

(b) f(x) = √x−3, x∈(3,∞), x+2

(c) f(x) = log₂ x, x ∈ (0,

Problem/Ansatz:

Comments

a)  wirklich f(x)=1  ???

b) √x - 1  oder √(x-1)   ?

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Bei c) fehlt auch etwas.

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a) Der Nenner steht in der folgenden Zeile, also
f(x) = 1/(x+2)  , x ∈ R\{−2}

b) Ein Blick auf den Definitionsbereich schafft Klarheit, also
f(x) = √(x−3) ,   x ∈ (3,∞)

c) Der Definitionsbereich ist ziemlich egal, wer x ∈ (0 , ∞) nicht kann nehme x ∈ (0 , 2166)

Dös hat hier leider nur (maximal) halbe Arbeit geleistet.

Jetzt muss nur noch jemand fragen, was es mit dem Tag differentialgleichungen auf sich hat.

Answer 1

Bei a) also so : f(x) =  1/(x+2)

Dann betrachte doch einfach \(  \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=  \frac{\frac{1}{x+h+2}-\frac{1}{x+2}}{h} = \frac{\frac{x+2-(x+h+2)}{(x+h+2)(x+2)}}{h} \)

\(  = \frac{\frac{-h}{(x+h+2)(x+2)}}{h} = \frac{-1}{(x+h+2)(x+2)}\) Dann h gegen 0:

Also f ' (x) = \(  \frac{-1}{(x+2)(x+2)}\)