Weisen Sie nach, dass die angegebenen Funktionen \( y(x) \) Lösungen der jeweiligen Differentialgleichungen auf \( I \subseteq \mathbb{R} \) sind:
(a) \( y^{\prime}+4 x y-8 x=0 ; \quad y(x)=c e^{-2 x^{2}}+2 \quad \) auf \( I=\mathbb{R}, \quad c \in \mathbb{R} \)
(b) \( y^{\prime}=x y^{2} ; \quad y(x)=\frac{2}{2-x^{2}} \quad \) auf \( I=(-\sqrt{2}, \sqrt{2}), \quad c \in \mathbb{R} \)
(c) \( y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(x)=c_{1} \cos (x)+c_{2} \sin (x) \quad \) auf \( I=\mathbb{R}, \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} \)
(d) \( y^{\prime \prime}-y=0, \quad y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} \quad \) auf \( I=\mathbb{R}, \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} \)
(e) \( x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0, \quad y(x)=c_{1} x+c_{2} x^{2} \quad \) auf \( I=\mathbb{R}, \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} \)
