Geradengleichung, Schnittpunkt.

Question

Gegeben seien zwei Geraden im E² : 

g₁ : x = $$ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}+\quad { \lambda  }_{ 1 }\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}$$ 

g₂ : x = $$ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}+\quad { \lambda  }_{ 2 }\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} $$

1. Geben Sie jeweils eine Gleichung der beiden Geraden g₁ und g₂ an. 

2. Ermitteln Sie den Schnittpunkt S der beiden Geraden, indem Sie das durch die ermittelten Geradengleichungen gegebene lineare Gleichungssystem lösen. Fassen Sie dafür die Gleichungen zu einem System der Form Ax = b zusammen. Berechnen Sie den Schnittpunkt S mit Hilfe der durch elementaren Zeilenumformungen ermittelten Inversen der Matrix A: s = A^-1 * b. 

Ich bedanke mich schon im Voraus. 

Answer 1

1.)

Mit λ₁ = 0 und λ₁ = 1 liegen die Punkte P₀ ( 1 | 1 ) und P ₁ ( 3 | 0 ) auf der gegebenen Geraden.  Mit Hilfe der Zweipunkteform einer Geraden erhält man für g₁:

y = y₀ + ( y₁ - y₀ ) / ( x₁ - x₀ ) ( x - x₀ )

= 1 + ( ( 0 - 1 ) / ( 3 - 1 ) ) * ( x - 1 )

= 1 + ( - 1 / 2 ) * ( x - 1 )

= 1 - ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 )

= - ( 1 / 2 ) x + 1,5

Auf gleiche Weise erhält man für g₂ :

y = x + 3

2)

Das Gleichungssystem lautet:

- 0,5 x - y = - 1,5
x - y = - 3

Das System in der Form A x = b sieht dann so aus:

$$\begin{pmatrix} -0,5 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}*\vec { x } =\begin{pmatrix} -1,5 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Die Inverse A ^{- 1} zur Matrix

$$A=\begin{pmatrix} -0,5 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

bestimmt man, indem man die MAtrix A und die Einheitsmatrix des R ² nebeneinander schreibt:

$$\left( { \begin{matrix} -0,5 & -1 \\ 1 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$

und diese Matrix dann durch auf alle Elemente angewandte elementare Zeilenumformungen so umformt, dass links vom Strich die Einheitsmatrix steht. Rechts vom Strich steht dann die Inverse von A:

$$\left( { \begin{matrix} -0,5 & -1 \\ 1 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$$$\Rightarrow \left( { \begin{matrix} -0,5 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} } \right)$$$$ \Rightarrow \left( { \begin{matrix} -1,5 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} } \right)$$$$\Rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { -1 }{ 3 }  \end{matrix} } \right)$$

Also:

$${ A }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { -1 }{ 3 }  \end{matrix} \right)$$

Multipliziert man nun A ^{- 1} mit dem Vektor

$$b=\begin{pmatrix} -1,5 \\ -3 \end{pmatrix}$$

so erhält man den Ortvektor des Schnittpunktes der beiden Geraden:

$$\left( \begin{matrix} \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { -2 }{ 3 }  & \frac { -1 }{ 3 }  \end{matrix} \right) *\begin{pmatrix} -1,5 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten ( - 1 | 2 )

Comments

Wieso setzen wir denn bei der ersten Aufgabe $$\lambda =1$$ und 0 ein???  

Die Lösung für die erste Aufgabe lautet wie folgt: g₁ = x+2y-3=0. Wie kommst du auf deine Lösung? 

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Ich will einfach nur zwei Punkte der Geraden erzeugen, um dann mit der Zweipunkteform die Geradengleichung wie gezeigt zu bestimmen. Das mache ich, indem ich irgendwelche zwei Werte für λ einsetze und dann komponentenweise ausrechne. Damit das möglichst einfach wird, habe ich die Werte λ = 0 und  λ = 1 verwendet. Ich hätte genausogut auch 345 und -7453 nehmen können.

 

Meine Gleichung:

y = - ( 1 / 2 ) x + 1,5

ist äquivalent zu der Gleichung

x+2y-3=0

Beweis:

y = - ( 1 / 2 ) x + 1,5

alles nach links:

<=> ( 1 / 2 ) x + y - 1,5 = 0

mit 2 multiplizieren:

<=> x + 2 y - 3 = 0

q.e.d.