Aufgabe:
Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow\left[0, \infty\left[\right.\right. \) sei stetig mit \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=0=\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x) \). Zeigen Sie, dass \( f \) ein globales Maximum annimmt, d.h. es gibt \( x_{0} \in \mathbb{R} \) mit \( f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Lösung.
Für \( f=0 \) ist die Aussage trivial, also nehmen wir \( f \neq 0 \) an. Dann gibt es einen Punkt \( \alpha \in \mathbb{R} \) mit \( f(\alpha)>0 \). Nach Annahme existiert eine reelle Zahl \( M>0 \) mit der Eigenschaft, dass \( f(x)<f(\alpha) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x|>M \).
Nun nimmt die stetige Funktion \( f \) nach einem Satz der Vorlesung auf dem abgeschlossenen Intervall \( [-M, M] \) ihr Maximum an, d.h. es existiert ein \( x_{0} \in[-M, M] \) mit \( f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \) für alle \( x \in[-M, M] \). Es gilt aber für alle \( x \notin[-M, M] \), dass
\( f(x)<f(\alpha) \leq f\left(x_{0}\right) \)
also hat \( f \) in \( x_{0} \) ein globales Maximum.
Problem/Ansatz:
und zwar verstehe ich die Lösung dieser Aufgabe nicht. Ist M das Maximum? Wenn ja wieso ist dann |x| größer M? Ist f(a) das Maximum? Und woher kommt dieses Intervall [-M;M]? Und wieso gibt es jetzt noch ein x0 neben a? Wäre nett wenn mir jemand das ausführlich erklären könnte.
