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Seien A,B ∈ Mat nxn (ℝ) wobei die Einträge von A und B die folgende

Bedingung erfüllen:


a) bij = 2 hoch i-j * aij   ∀ 1≤i, j≤n


Finden Sie einen Zusammenhang zwischen det(A) und det(B)

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Es ist \(\det(B)=\det(A)\).

Beweis:

Wir betrachten den zu \(\sigma \in S_n\) gehörigen Summanden in der Leibnizformel

für die Determinante:$$\pm \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}=\pm \prod 2^{i-\sigma(i)}a_{i,\sigma(i)}=2^{\sum_{i=1}^n i-\sum_{i=1}^n \sigma(i)}\cdot (\pm \prod a_{i,\sigma(i)})$$

Wir vergewissern uns nun, dass der Exponent von \(2\) Null ist, d.h. dass

\(\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \sigma(i)\) ist.

Das aber ist klar; denn wenn \(i\) die Zahlen \(1\) bis \(n\) durchläuft,

durchläuft \(\sigma(i)\) ebenfalls die Zahlen von \(1\) bis \(n\), wenn auch

in etwaig anderer Reihenfolge,

q.e.d.

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