Es ist \(\det(B)=\det(A)\).
Beweis:
Wir betrachten den zu \(\sigma \in S_n\) gehörigen Summanden in der Leibnizformel
für die Determinante:$$\pm \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}=\pm \prod 2^{i-\sigma(i)}a_{i,\sigma(i)}=2^{\sum_{i=1}^n i-\sum_{i=1}^n \sigma(i)}\cdot (\pm \prod a_{i,\sigma(i)})$$
Wir vergewissern uns nun, dass der Exponent von \(2\) Null ist, d.h. dass
\(\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \sigma(i)\) ist.
Das aber ist klar; denn wenn \(i\) die Zahlen \(1\) bis \(n\) durchläuft,
durchläuft \(\sigma(i)\) ebenfalls die Zahlen von \(1\) bis \(n\), wenn auch
in etwaig anderer Reihenfolge,
q.e.d.