Question

Bestimmen Sie alle Punkte x, in denen die Funktion f differenzierbar ist und berechnen Sie dort den Wert der Ableitung.

f : (0, ∞) → R, x → (xe^2x)/log(1+x)

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion$$f(x)=\frac{xe^{2^x}}{\ln(1+x)}\quad;\quad x>0$$ist für alle $x>0$ stetig und differenzierbar. Ihre Ableitung folgt mit der Quotientenregel. Wir schauen uns zunächst die Ableitung des Zählers mit der Produk- und mit der Kettenregel an:

$$\left(xe^{2^x}\right)'=1\cdot e^{2^x}+x\cdot\left(e^{2^x}\right)'=e^{2^x}+xe^{2^x}\cdot\left(2^x\right)'=e^{2^x}+xe^{2^x}\cdot\left(e^{x\ln2}\right)'$$$$\phantom{\left(xe^{2^x}\right)'}=e^{2^x}+xe^{2^x}\cdot e^{x\ln(2)}\cdot\ln(2)=e^{2^x}+xe^{2^x}2^x\ln(2)=e^{2^x}\left(1+2^xx\ln(2)\right)$$

Damit wenden wir nun die Kettenregel auf $f(x)$ an:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{xe^{2^x}}^{=u}}{\underbrace{\ln(1+x)}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{e^{2^x}\left(1+2^xx\ln(2)\right)}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln(1+x)}^{=v}-\overbrace{xe^{2^x}}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{1}{1+x}}^{=v'}}{\underbrace{\ln^2(1+x)}_{=v^2}}$$$$f'(x)=\frac{e^{2^x}\left(1+2^xx\ln(2)\right)}{\ln(1+x)}-\frac{e^{2^x}\cdot\frac{x}{1+x}}{\ln^2(1+x)}$$