Finden Sie einen Zusammenhang zwischen det(A) und det(B)

Question 1

Seien A,B ∈ Mat nxn (ℝ) wobei die Einträge von A und B die folgende

Bedingung erfüllen:

a) bij = 2 hoch i-j * aij ∀ 1≤i, j≤n

Question 2

Es ist $\det(B)=\det(A)$.

Beweis:

Wir betrachten den zu $\sigma \in S_n$ gehörigen Summanden in der Leibnizformel

für die Determinante:$$\pm \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}=\pm \prod 2^{i-\sigma(i)}a_{i,\sigma(i)}=2^{\sum_{i=1}^n i-\sum_{i=1}^n \sigma(i)}\cdot (\pm \prod a_{i,\sigma(i)})$$

Wir vergewissern uns nun, dass der Exponent von $2$ Null ist, d.h. dass

$\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \sigma(i)$ ist.

Das aber ist klar; denn wenn $i$ die Zahlen $1$ bis $n$ durchläuft,

durchläuft $\sigma(i)$ ebenfalls die Zahlen von $1$ bis $n$, wenn auch

in etwaig anderer Reihenfolge,

q.e.d.

ermanus · Answer 1 · 2022-01-23T16:26:08+0000

Es ist $\det(B)=\det(A)$.

Beweis:

Wir betrachten den zu $\sigma \in S_n$ gehörigen Summanden in der Leibnizformel

für die Determinante:$$\pm \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}=\pm \prod 2^{i-\sigma(i)}a_{i,\sigma(i)}=2^{\sum_{i=1}^n i-\sum_{i=1}^n \sigma(i)}\cdot (\pm \prod a_{i,\sigma(i)})$$

Wir vergewissern uns nun, dass der Exponent von $2$ Null ist, d.h. dass

$\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \sigma(i)$ ist.

Das aber ist klar; denn wenn $i$ die Zahlen $1$ bis $n$ durchläuft,

durchläuft $\sigma(i)$ ebenfalls die Zahlen von $1$ bis $n$, wenn auch

in etwaig anderer Reihenfolge,

q.e.d.

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