Abstand zwischen Ebenen

Question

leider habe ich nicht ganz verstanden wie man den Abstand zwischen zwei Parallelen Ebenen berechnet…

Bei einer Aufgabe muss ich die Symmetrieebene zweier Ebenen (mit gleichem Normalenvektor) angeben, d.h der Abstand müsste ebenfalls gleich sein.

LG

Answer 1

Wähle einen Punkt auf einer der Ebene. Bestimme die Gerade, die durch diesen Punkt senkrecht zur Ebene verläuft. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden mit der zweiten Ebene. Bestimme den Abstand der zwei Punkte.

Je nach dem in welcher Form du die Ebenen gegeben hast gibt es schnellere Verfahren.

Comments

Alles klar, danke. Wie könnte ich die gerade (die senkrecht zur Ebene verläuft) denn bestimmen?

LG

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Aus der Koordinatenform

        \(n_1x + n_2y+n_3z = d\)

ist

        \(\vec{n} =\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\)

Richtungsvektor der Geraden. Aus der Parameterform

        \(\vec{x} = \vec{a} + r\vec{v}_1 + s\vec{v}_2\)

kannst du den Richtungsvektor \(\vec{n}\) mittels Skalarprodukt bestimmen indem du das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}\vec{v}_1\cdot \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} &= 0\\\vec{v}_2\cdot \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}&=0\end{aligned}\)

löst oder mittels des Vektorproduktes

        \(\vec{n} = \vec{v}_1\times\vec{v}_2\).

Answer 2

Wenn es nur um die Ebene genau dazwischen geht:

Die Mittelebene von

ax+by+cz=d_1

und

ax+by+cz=d_2

ist

ax+by+cz=(d_1+d_2)/2