Bestimme alle Randpunkte, alle inneren Punkte und alle isolierten Punkte als Teilmenge von E.

Question

Es sei \( E=\left\{\mathrm{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\} . \) Wir betrachten auf \( E \) zwei verschiedene Metriken: Die Euklidische Metrik
\( \varrho_{2}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}}, \quad \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) \in E, \)
und die triviale Metrik
\( \varrho_{\mathrm{tr}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { wenn } \quad \mathbf{x}=\mathbf{y} \\ 1 \quad \text { wenn } \quad \mathbf{x} \neq \mathbf{y} & \quad \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) \in E . \end{array}\right. \)
Man bestimme alle Randpunkte, alle inneren Punkte und alle isolierten Punkte von
\( M=\left\{\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<\frac{1}{2}\right\} \)
als Teilmenge von \( E \) im
a) metrischen Raum \( \left(E, \varrho_{2}\right) \),
b) metrischen Raum \( \left(E, \varrho_{\mathrm{tr}}\right) \).
c) Ist \( M \) im metrischen Raum \( \left(E, \varrho_{2}\right) \) offen oder abgeschlossen?
d) Ist \( M \) im metrischen Raum \( \left(E, \varrho_{\mathrm{tr}}\right) \) offen oder abgeschlossen?

Answer 1

Zu a)

Randpunkte = \(\{(x_1,x_2):\; x_1^2+x_2^2=1/2\}\)

Innere Punkte = \(M\)

Isolierte Punkte = \(\emptyset\).

Zu b)

Randpunkte = \(\emptyset\)

Innere Punkte = \(M\)

Isolierte Punkte = \(M\).

Zu c)

offen, nicht abgeschlossen

Zu d)

sowohl offen als auch abgeschlossen