Untersuche die Reihe auf konvergenz

Question

Man untersuche die Reihe auf Konvergenz :

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^{2} m} \quad m \epsilon \mathrm{N} \)

Hals Tipp sei gegeben " man verwende

\( \lim \limits_{k \to \infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=e \)

Ich verstehe schon den Tipp alleine nicht. Warum gibt das "e"? Soll man mit dem Tipp rechnen , statt mit dem ursprünglichen Term?

Bisher habe ich das Wurzelkriterium angewendet und vereinfacht und erhalt ja so \( \left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^{k \cdot m} \) was bisher noch nicht hilfreich erscheint.

Würde man das Wuzrelkriterium nur auf den "Tipp" anwenden, stände dort ja nur noch 1 was ja keine Aussage ergibt. Mir ist zwar aufgefallen dass Unter meiner Vereinfachung im Nenner der gegebene Tipp steht, also heißt dass, dass k gegen unendlich strebt 1/e herauskommt und das kleiner als 1 ist und somit konvergiert?.... Warum ergibt das eigentlich e?

Answer 1

Du sollst die Aussage aus dem Tipp verwenden, nicht beweisen. Wenn dir die Aussage aus dem Tipp nicht bekannt ist, mach dich damit vertaut - es ist einer der wichtigsten Grenzwerte- z.B. in deinem Skript oder hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

Comments

Hallo ich dank dir erstmal für deine schnelle Antwort. Aber ich hab ja nichts bewiesen ich habe doch lediglich das Wurzelkriterium angewendet, wodurch dieser Ausdruck entsteht
\( \left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^{k \cdot m} \)

und im Nenner steht dann der sogenannte Tipp was heißt wenn k gegen Undendlich strebt dieser Ausdruck da steht:

\( \left(\frac{1}{e}\right) \approx 0,27 . . \rightarrow<1 \) was ungefähr kleiner als 1 ist und damit die Reihe konvergiert?

ups um genau zusein steht da ca 0.3678.. statt 0,27..