Extremstellen unter Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind diese Funktionen:

f: f(x, y, z) = y(z²+x²)-3y²

g = g₁: g(x, y, z) =  y²+1/2(x+z)²-9

Problem/Ansatz:

Die Gradienten und Hessematrizen habe ich bestimmt. Jetzt soll aber ein Gleichungssystem aufgestellt werden, mit welchem man Flachstellen unter der Nebenbedingung g=0 herausfinden könnte und es soll auch überprüft werden, ob der Punkt P=(0, 3, 0) eine Flachstelle von f unter der Nebenbedingung g=0 ist.

Mir ist aber nicht klar wie man das herausfindet. Uns wurde das mit dem Lagrange-Multiplikator beigebracht, jedoch verstehe ich nicht wie ich auf die ganzen Werte komme (ρ, N, U usw.), die ich dafür brauche und welche Schritte genau zu befolgen sind, um die Aufgabe zu lösen.

Danke im Voraus!!!

Comments

Die Funktion $g$ ist seltsam dekoriert, daher frage ich vor einer Antwort nochmal nach. Heißt die Nebenbedingung so?$$g(x;y;z)=y^2+\frac12(x+z)^2-9\stackrel!=0$$

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Ja, genau :)

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die Extrema einer Funktion $f$ unter einer konstanten Nebenbedingung $g$:$$f(x;y;z)=y(z^2+x^2)-3y^2\quad;\quad g(x;y;z)=y^2+\frac12(x+z)^2-9\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da hier nur eine Nebenbedingung vorliegt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y;z)$$Der Proportionalitätsfaktor $\lambda$ ist der Lagrange-Multiplikator. Wir rechnen das aus:$$\begin{pmatrix}2xy\\z^2+x^2-6y\\2yz\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x+z\\2y\\x+z\end{pmatrix}$$

Ein Vergleich der Gleichungen für die 1-te und die 3-te Koordinate liefert sofort $xy=yz$. Daher ist $x=z$ oder $y=0$ und wir betrachten 2 Fälle:

Fall 1: $y=0$$$\begin{pmatrix}0\\z^2+x^2\\0\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x+z\\0\\x+z\end{pmatrix}\implies x+z=0\,\land x^2+z^2=0\implies x=0\;\land z=0$$Diese Lösung verletzt die Nebenbedingung und scheidet daher aus.

Fall 2a: $x=z=0$$$\begin{pmatrix}0\\-6y\\0\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}0\\2y\\0\end{pmatrix}\implies y\in\mathbb R\text{ beliebig}$$Setzen wir $x=z=0$ in die Nebenbedingung ein, erhalten wir $y=\pm3$.

Fall 2b: $x=z\ne0$$$\begin{pmatrix}2xy\\2x^2-6y\\2xy\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2x\\2y\\2x\end{pmatrix}$$Für $y=0$ wäre die erste Koordinatengleichung verletzt, daher muss auch $y\ne0$ gelten. Weiter muss $\lambda=y$ sein, damit die erste Koordinatengleichung korrekt ist. Dann lautet die 2-te Koordinatengleichung:$$2x^2-6y=2y^2$$Andererseits folgt für $x=z$ aus der Nebenbedingung:$$2x^2+y^2=9$$Dieses kleine Gleichungssystem hat drei Lösungen:$$x=\pm2\;\land\;y=1\quad\text{oder}\quad x=0\,\land\,y=-3$$Die letzte Lösung mit $x=0$ fällt allerdings weg, da wir den Fall $x\ne0$ betrachten.

Wir fassen alle unsere gefundenen Extremwert-Kandidaten zusammen:$$K_1(0|3|0)\quad;\quad K_2(0|-3|0)\quad;\quad K_3(-2|1|-2)\quad;\quad K_4(2|1|2)$$

Jetzt solltest du noch prüfen, ob es sich tatsächlich um Extremwerte handelt...