Zeigen Sie ob die Abb. ein Ringhomomorphismus ist

Question

Sei K ein Körper sodass der eindeutige Ringhomomorphismus f: ℤ → K Injektiv ist.

Die Abbildung g: ℚ→K mit a:b ↦ f(a) * f(b)^(-1) ist wohldefiniert.

Zeigen Sie nun, dass die Abbildung g ein Ringhomomorphismus ist

Kann mir jemand helfen? Wie zeige ich das ? Mich verwirren irgendwie diese zwei Abbildungen und ich weiss nicht wie ich das machen muss

Answer 1

Zeige für alle a:b und c:d ∈ Q 1)  g(a:b + c:d) = g(a:b) + g(c:d)

und  2)  g((a:b) * (c:d) ) = g(a:b) * g(c:d).

Dabei sind die a:b wohl die Bruchdarstellungen der rationalen

Zahlen.

Also zu 1)    g(a:b + c:d) = g( (ad + bc)  : (bd) ) nach Def:

   = f(ad + bc) * f(bd)^(-1)

Da f ein Hom. ist , geht es weiter mit

  = ( f(a)*f(d) + f(b)*f(c) )* f(d)^(-1) * f(b)^-1 distributiv !

= ( f(a)*f(d)* f(d)^(-1) * f(b)^-1  + f(b)*f(c)* f(d)^(-1) * f(b)^-1

= ( f(a)* f(b)^-1  + f(c)* f(d)^(-1) 

=  g(a:b) + g(c:d).

2) entsprechend. Das "injektiv" ist wohl nur für die

"Wohldefiniertheit" nötig.

Comments

Die Wohldefiniertheit ist nötig, da sonst keine
Abbildung vorliegt. Daher wäre sie das Erste, was man
zeigen muss. Es muss nachgewiesen werden:

\(a:b=c:d\Rightarrow g(a:b)=g(c:d)\)

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Aber das gibt die aufgabenstellende Person doch vor.

Und die ist bestimmt schlau !

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Na, dann will ich es mal ausnahmsweise glauben ;-)