(x,y) ↦ (x,y-x^2, y^5) surjektiv?

Question

Aufgabe:

Ist die Abbildung

f: R^2 -> R^3

(x,y) ↦ (x,y-x^2, y^5) surjektiv?

Problem/Ansatz:

Hey, ich glaube aus der Frage geht mein Problem recht gut hervor ;)

Ich hab die Injektivität bereits bewiesen, jetzt hakt es nur leider beim Beweis das f surjektiv ist oder eben nicht.

Mein Ansatz bis jetzt

a = x

b = y- x^2

c = y^5

Wobei a,b,c ∈ aus R sind (Wertebereich)

Für a und c ist die Abbildung doch eigentlich surjektiv, da jeder Wert mindestens einmal angenommen wird.

Aber wie sieht es mit b aus

Als Gegenbeispiel ist mir (1,1,1) eingefallen. Reicht das aus

Answer 1

Als Gegenbeispiel ist mir (1,1,1) eingefallen. Reicht das aus

Ja, aber du musst zeigen, dass es wirklich nicht angenommen wird.

Aus (1,1,1) =  (x,y-x^2, y5)

folgt x = 1 und   y-x^2 = 1 und   y^5 =1

==>  x = 1 und   y-1= 1 und y =1

==>  x = 1 und   y= 2 und y =1  Widerspruch !