Injektiv, surjektiv oder bijektiv? f: R^2→ R^2, (x,y) ↦ (x+18, y-11)

Question

Ist die folgende Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ? Und wie kann ich das genau beweisen.

f: ℝ^2→ℝ^2, (x,y) ↦ (x+18, y-11).

Answer 1

du kannst beweisen, dass sie bijektiv ist, indem du die Umkehrabbildung angibst:

\( f^{-1}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x-18, y+11) \).

Jetzt ist es leicht zu zeigen, dass \( ( f \circ f^{-1} )(x, y) = ( f^{-1} \circ f )(x, y) = (x, y) \) ist.

MfG

Mister

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Muss ich für die Umkehrabbildung dann einfach nach den beiden Variablen auflösen? Bin mir da leider nicht so sicher wie das geht. Und das ist dann schon mein ganzer Beweis?

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Ist das wirklich alles? Kann man das bei allen möglichen Abbildungen so machen mit der Umkehrabbildung? Kann man noch injektivität und surjektivität einzeln berechnen bzw. zeigen?

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Wenn du eine Umkehrabbildung angibst, dann hast du zweifellos die Bijektivität bewiesen.

Du kannst dir die Umkehrabbildung veranschaulichenderweise in zwei anderen Variablen vorstellen:

\( f^{-1}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (a, b) \mapsto (a-18, b+11) \).

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Danke. Wie weise ich denn Injektivität oder Surjektivität einzeln nach? Gibt es da ein besonderes Verfahren ?

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Ja, sie folgen jeweils aus der Bijektivität.

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Das geht natürlich nicht für jede Abbildung so einfach.