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Eine Zielfunktion \(f(x;y)\) ist unter einer Nebenbedingung \(h(x;y)=\text{const}\) zu optimieren:$$f(x;y)=x^a\cdot y^{1-a}\quad;\quad h(x;y)=k_x\cdot x+k_y\cdot y=c$$wobei \(\alpha\in(0|1)\) und \(k_x,k_y,c\in\mathbb R^+\) liegen sollen.
Nach Lagrange muss in allen kritischen Punkten der Gradient der Zielfunktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, erhalten wir:$$\operatorname{grad}{f(x;y)}=\lambda\cdot\operatorname{grad}h(x;y)\quad\implies\quad\binom{ax^{a-1}y^{1-a}}{(1-a)x^ay^{-a}}=\lambda\binom{k_x}{k_y}$$Wir dividieren die Gleichung der 1. Koordinate durch die der 2. Koordinate:$$\frac{ax^{a-1}y^{1-a}}{(1-a)x^ay^{-a}}=\frac{\lambda k_x}{\lambda k_y}\implies\frac{ay}{(1-a)x}=\frac{k_x}{k_y}\implies k_y\cdot y=\frac{1-a}{a}\,k_x\cdot x$$
Diese notwendige Voraussetzung setzen wir in die Nebenbedinung ein:$$c=k_xx+\frac{1-a}{a}\,k_xx=\left(1+\frac{1-a}{a}\right)k_xx=\frac{k_xx}{a}\implies x=\frac{ac}{k_x}$$Damit haben wir auch das kritische \(y\) gefunden:$$k_yy=\frac{1-a}{a}\,k_xx=(1-a)c\implies y=\frac{(1-a)c}{k_y}$$
Der kritische Punkt in der dargestellten Situation ist daher:$$(x_0|y_0)=\left(\frac{ac}{k_x}\,\bigg|\,\frac{(1-a)c}{k_y}\right)$$
