Optimierung unter NB

Question

Aufgabe: Optimierung unter Nebenbedingungen

Gegeben sei folgende Zielfunktion (ZF) und folgende Nebenbedingung (NB):

ZF:  z = f(x, y) = x^α * y^1-α
NB: h(x, y) = kX*x + kY*y = c
Dabei seien α, kX, kY , c positive Parameter. Außerdem gelte: 0 < α < 1.
Löse mit Lagrange-Ansatz die kritische Stelle (x0, y0).

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht, wie ich bei der Aufgabe beginnen soll. Vielleicht kann mir ja jemand helfen:)

Vielen Dank im Voraus:)

Comments

Es wäre schon mal hilfreich, wenn Du die Zielfunktion richtig hinschreiben würdest.

Ich habe einen Ansatz

Verrätst Du den auch?

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Die Zielfunktion ist nach Deiner kommentarlosen Änderung immer noch falsch.

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Das ist die Aufgabe:)

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Wenn statt z = f(x, y) = x^α × y¹-α

steht

z = f(x, y) = x^α × y^1-α

dann kriege ich eine Banane.

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Habe es nochmal geändert:))

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Ist ja toll, dass es nach dem dritten Hinweis geklappt hat.

Answer 1

Ich habe bei den Ableitungen (a statt alpha)

L_x =a*x^a-1 * y *y^-a +k_X und

L_y=(1-a)*x^a * y ^-a + k_Y

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine Zielfunktion $f(x;y)$ ist unter einer Nebenbedingung $h(x;y)=\text{const}$ zu optimieren:$$f(x;y)=x^a\cdot y^{1-a}\quad;\quad h(x;y)=k_x\cdot x+k_y\cdot y=c$$wobei $\alpha\in(0|1)$ und $k_x,k_y,c\in\mathbb R^+$ liegen sollen.

Nach Lagrange muss in allen kritischen Punkten der Gradient der Zielfunktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, erhalten wir:$$\operatorname{grad}{f(x;y)}=\lambda\cdot\operatorname{grad}h(x;y)\quad\implies\quad\binom{ax^{a-1}y^{1-a}}{(1-a)x^ay^{-a}}=\lambda\binom{k_x}{k_y}$$Wir dividieren die Gleichung der 1. Koordinate durch die der 2. Koordinate:$$\frac{ax^{a-1}y^{1-a}}{(1-a)x^ay^{-a}}=\frac{\lambda k_x}{\lambda k_y}\implies\frac{ay}{(1-a)x}=\frac{k_x}{k_y}\implies k_y\cdot y=\frac{1-a}{a}\,k_x\cdot x$$

Diese notwendige Voraussetzung setzen wir in die Nebenbedinung ein:$$c=k_xx+\frac{1-a}{a}\,k_xx=\left(1+\frac{1-a}{a}\right)k_xx=\frac{k_xx}{a}\implies x=\frac{ac}{k_x}$$Damit haben wir auch das kritische $y$ gefunden:$$k_yy=\frac{1-a}{a}\,k_xx=(1-a)c\implies y=\frac{(1-a)c}{k_y}$$

Der kritische Punkt in der dargestellten Situation ist daher:$$(x_0|y_0)=\left(\frac{ac}{k_x}\,\bigg|\,\frac{(1-a)c}{k_y}\right)$$