Zeige dass "Summenzeichen" k=0, n-1 k*(k aus n-1) *pk *(1-p)n-1-k = (n-1)*p ist

Question

Aufgabe: Zeige dass "Summenzeichen" k=0, n-1  k*(k aus n-1) *p^k *(1-p)^n-1-k = (n-1)*p ist.

[In LaTex ergänzt:]$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^{n-1-k}=(n-1)\cdot p$$
Problem/Ansatz:

Man könnte hier den Binomialsatz anwenden... also hätte man (p + 1-p)^n-1 aber ich komm damit trotzdem nicht auf das Ergebnis ...

Comments

für mich ist deine Summe nicht lesbar , aus dem k*... in der Summe scheint es nicht die binomische Formel zu sein?

lul

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Nein :( ich weiß nicht wie ich die Summe am besten formulieren kann....

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Dann benutze die LaTeX Hilfe

lul

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Für mich ist deine Summe nicht lesbar

Offenbar soll die Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen bewiesen werden.

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Ah jemand hat es netterweise für mich gemacht!

Wäre es trotzdem eine binomisch formel?

Answer 1

Aloha :)

Ja, du kannst hier den binomischen Lehrsatz anwenden, allerdings würde ich zuvor ein wenig Term-Gymnastik empfehlen:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^{n-1-k}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^{n-1-k}$$$$=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\,\frac{n-1}{k}\binom{n-2}{k-1}p^k(1-p)^{n-1-k}=(n-1)\sum\limits_{k=1}^{n-1}\binom{n-2}{k-1}p^k(1-p)^{n-1-k}$$$$=(n-1)\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{(k+1)-1}p^{k+1}(1-p)^{n-1-(k+1)}$$$$=(n-1)p\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}p^{k}(1-p)^{(n-2)-k}=(n-1)p\cdot(p+(1-p))^{n-2}$$$$=(n-1)p$$