Wie hoch ist der Einsatz von Faktor L im Kostenminimum? F(K,L) = K + L^0,1, pk = 7 und pL= 0,85

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) mit den Inputfaktoren K für Kapital und L für Arbeit auf

F(K,L) = K + L^0,1

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pk = 7 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL = 0,85. Minimieren Sie die Kosten der Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 240ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor L im Kostenminimum?

b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor K im Kostenminimum?

c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?

d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

s.t. q = K + L^0,1 = 240

C(K,L) = 7k + 0,85L

C' (L) = 0,85 - 0,7/K^0,9 = 0

a. L = 0,80595.... -> 0,81

Stimmt a. in diesem Fall und wie komme ich auf die Restlichen Ergebnisse? Ich komme hier leider absolut nicht weiter...

Answer 1

K + L^0,1 = 240   ==>   K = 240 - L^(0,1) 

C(K,L) = 7k + 0,85L ==>  7(240 - L^(0,1) ) +0,85L

                             = 1680 - 7L^(0,1) + 0,85L

==>  C ' (L) =  0,85 - 0,7* L^(-0,9) .

Das gleich 0 gibt   L = 0,81

Die anderen Werte dann mit   K = 240 - L^(0,1)

also  K = 240 - 0,81^(0,1) = 239,0

Das λ hast du ja mit deiner Methode nicht verwendet.

Lagrange-Ansatz wäre ja

F =  7k + 0,85L +  λ * (K + L^0,1 - 240 )

partielle Ableitung nach K ist

F_k=   7 +  λ   gibt also   λ = -7

Comments

Danke war alles richtig :)

Answer 2

Text erkannt:

\( F(K, L)=K+L^{0,1} \)
\( 7 K+0,85 L=240 \)
\( F(K, L, \lambda)=K+L^{0,1}+\lambda \cdot(7 K+0,85 L-240) \)
\( \frac{d F(K, L, \lambda)}{d K}=1+7 \lambda \)
\( \frac{d F(K, L, \lambda)}{d L}=0,1 \cdot L^{-0,9}+0,85 \lambda \)
\( 1+7 \lambda=0 \rightarrow \lambda=-\frac{1}{7} \)
\( 0,1 \cdot L^{-0,9}+0,85 \cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=0 \)
\( L=\frac{14}{17} \cdot\left(\frac{14}{17}\right)^{\frac{1}{9}} \approx 0,805 \)
\( 7 K+0,85 \cdot 0,805=240 \)
\( K \approx 34,188 \)
\( F=34,188+0,805^{0,1} \approx 35,166 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets