Zeigen, dass F eine Stammfunktion ist

Question

Aufgabe:

(i) Es sei \( F \) eine Stammfunktion von \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( a, b \in \mathbb{R} \) beliebig. Zeigen Sie, dass dann \( \frac{1}{a} F(a x+b)+C \) eine Stammfunktion der Funktion \( f(a x+b) \) ist. Zeigen Sie weiter, dass mit Integrationsgrenzen \( p, q \in I \)

\( \int \limits_{p}^{q} f(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a}[F(a x+b)]_{x=p}^{x=q} \)
gilt.

(ii) Bestimmen Sie damit die nachstehenden (un)bestimmten Integrale:

1) \( \int \limits_{0}^{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} x+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{d} x \),
2) \( \int \frac{1}{3-x} \mathrm{~d} x \),

Problem/Ansatz:

Comments

Würdest du uns denn freundlicherweise noch mitteilen,
an welcher Stelle du ein Problem hast?

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Klartext:

Titel: Stammfunkton zeigen und beweisen.

Stichworte: stammfunktion,integral

Aufgabe:

Es sei F eine Stammfunktion von f : I → R stetig und a, b ∈ R beliebig. Zeigen Sie, dass dann

Text erkannt:

\( \int f(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C . \)
Weiter: Mit Integrationsgrenzen \( p, q \in I \) ist das
\( \int \limits_{p}^{q} f(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a}[F(a x+b)]_{x=p}^{x=q} . \)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe?

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Guckst du hier:

https://www.mathelounge.de/911448/zeigen-dass-f-eine-stammfunktion-ist

Answer 1

Aloha :)

zu i) Hier kannst du substituieren:$$u(x)\coloneqq ax+b\implies \frac{du}{dx}=a\implies dx=\frac{du}{a}$$sodass zunächst für das unebstimmte Integral folgt:$$\int f(ax+b)\,dx=\int f(u)\,\frac{du}{a}=\frac1a\int f(u)\,du=\frac1a\,F(u)+C=\frac1a\,F(ax+b)+C$$Sind die Integrationsgrenzen bekannt, folgt daraus:$$\int\limits_p^qf(ax+b)dx=\left(\frac1a\,F(aq+b)+C\right)-\left(\frac1a\,F(ap+b)+C\right)$$$$\phantom{\int\limits_p^qf(ax+b)dx}=\frac1a\left(F(aq+b)-F(ap+b)\right)=\frac1a\left[F(ax+b)\right]_{x=p}^q$$

zu ii) Das Gezeigte soll nun erprobt werden:$$\int\limits_0^2\sin\left(\frac\pi4x+\frac\pi3\right)dx=\left[\frac{1}{\frac\pi4}\cdot\left(-\cos\left(\frac\pi4x+\frac\pi3\right)\right)\right]_0^2=\left[-\frac4\pi\cos\left(\frac\pi4x+\frac\pi3\right)\right]_0^2$$$$\phantom{\int\limits_0^2\sin\left(\frac\pi4x+\frac\pi3\right)dx}=-\frac4\pi\cos\frac{5\pi}6+\frac4\pi\cos\frac\pi3=\frac4\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac4\pi\cdot\frac12=\frac2\pi(\sqrt3+1)$$$$\int\frac{1}{3-x}\,dx=\frac{1}{-1}\ln|3-x|+C=\ln\left|\frac{1}{3-x}\right|+C$$

Das ist so eine Art einfache Kettenregel für Integrale: "äußeres Integral durch innere Ableitung", aber nur falls die innere Ableitung eine Konstante ist.