Aloha :)
Deine Rechnung stimmt nicht ganz:$$\int\underbrace{e^x}_{u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}\,dx=\underbrace{e^x}_{u}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}+C_1-\int \underbrace{e^x}_{u}\cdot\underbrace{\cos x}_{v'}\,dx$$
Jetzt hast du "irgendwie" \(\cos(x)\) vor das Integral gezogen, obwohl es mit integriert werden muss. Du musst aber auf das verbliebene Integral erneut die partielle Integration anwenden:$$\int\underbrace{e^x}_{f'}\cdot\underbrace{\cos x}_{g}\,dx=\underbrace{e^x}_{f}\cdot\underbrace{\cos x}_{g}+C_2-\int\underbrace{e^x}_{f}\cdot\underbrace{(-\sin x)}_{g'}\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx$$
Dieses Ergebnis setzen wir nun in die erste Rechnung ein und beachten, dass wir das subtrahieren müssen:$$\int e^x\cdot\sin x\,dx=e^x\cdot\sin x+C_1-\left(e^x\cos x+C_2+\int e^x\sin x\,dx\right)$$$$\int e^x\cdot\sin x\,dx=e^x\cdot\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\,dx+C_1-C_2$$
Jetzt addieren wir das Integral rechts auf beiden Seiten der Gleichung:$$2\int e^x\cdot\sin x\,dx=e^x\cdot\sin x-e^x\cos x+C_1-C_2$$$$\int e^x\cdot\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}\cdot\left(\sin x-\cos x\right)+C\quad;\quad C\coloneqq\frac{C_1-C_2}{2}=\text{const}$$
