Aloha :)
Hier hilft uns der binomische Lehrsatz weiter:
$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$
Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$
Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}\quad\text{bzw.}\quad\sqrt[n]{n}-1\le\sqrt{\frac{2}{n}}$$
Für \(n\ge8\) gilt daher:$$\sqrt[n]{n}-1\le\sqrt{\frac28}=\frac12$$
Damit können wir den Ausdruck abschätzen:$$0\le\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n\le\frac{1}{2^n}\quad;\quad n\ge8$$
