Aloha :)
Ohne Rechnung sieht man sofort, dass die Matrix reell und symmetrisch ist. Ihre Eigenwerte sind alle verschieden und die zugehörigen Eigenvektoren stehen paarweise orthogonal zueinander.
1) Bestimmung der Eigenwerte:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1-\lambda & 3 & 0\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|\stackrel{Z_1-=3Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}1-\lambda & 0 & -3(1-\lambda)\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|\stackrel{Z_2-=3Z_1}{=}(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3\\0 & 4-\lambda & 10\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(1-\lambda)\left((4-\lambda)(1-\lambda)-10\right)=(1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda-6)=(1-\lambda)(\lambda+1)(\lambda-6)$$Damit haben wir die Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=6$$
2) Die Rechnung für die Eigenvektoren führe ich hier nicht explizit vor, den Spaß daran möchte ich dir nicht nehmen. Zur Kontrolle gebe ich die aber die Eigenvektoren an:$$\vec x_1=\left(\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right)\quad;\quad \vec x_2=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\3\end{array}\right)\quad;\quad \vec x_3=\left(\begin{array}{r}3\\5\\1\end{array}\right)$$Diese Vektoren stehen paarweise orthogonal zueinander. Ihre Länge können wir auf \(1\) normieren und in eine Matrix \(S\) eintragen:$$S=\left(\begin{array}{r}\frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{35}}\\[1ex]-\frac{2}{\sqrt{14}} & 0 & \frac{5}{\sqrt{35}}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}}\end{array}\right)$$
