Zeigen Sie: Zu x ∈ ℚ mit x ≥ 0 und x2 < 2 gibt es ein n ∈ ℕ \ {0} mit (x + 1/n)2 < 2.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:
(a) Zu x ∈ ℚ mit x ≥ 0 und x² < 2 gibt es ein n ∈ ℕ \ {0} mit (x + 1/n)² < 2.

(b) Zu x ∈ ℚ mit x ≥ 0 und x² > 2 gibt es ein n ∈ ℕ \ {0} mit (x − 1/n)²> 2.

(c) Die Menge M = {x ∈ ℚ | x ≥ 0, x² > 2} besitzt eine untere Schranke s ∈ ℚ, sie hat aber kein Infimum in ℚ.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann jemand versuchen die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

(a) Alle genannten Zahlen (Parameter) seien nicht negativ.

Da x²<2, muss es ein Zahl m geben, sodass x+m=\( \sqrt{2} \).

Dann ist x=\( \sqrt{2} \) - m

und es soll gelten:

(\( \sqrt{2} \) - m + \( \frac{1}{n} \))²<2.

Das gilt, wenn m - \( \frac{1}{n} \)>0.

Wähle also n<\( \frac{1}{m} \).

Comments

Die Antwort ist vermutlich nicht auf dem Niveau des Fragestellers.

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Hätte jetzt eher gedacht man löst das mit einer Fallunterscheidung, klappt das und wenn ja wie geht man vor?

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Habe a und c jetzt gelöst, hat jemand b?