Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Pinguin seinen Freiraum hat, dass sich also auf den Eisschollen …

Question

Aufgabe:

Im Meer befinden sich 12 Eisschollen, die in einem Ring angeordnet sind. 6 Pinguine setzen sich zufällig auf eine der Eisschollen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Pinguin seinen Freiraum hat, dass sich also auf den Eisschollen links und rechts neben ihm kein Pinguin befindet?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre der folgende:

Jeder Pinguin hat 12 Schollen, aus denen er wählen kann, somit gibt es \(12^6\) Möglichkeiten wie sich die Pinguine auf den Eisschollen positionieren können.

Wenn alle mit einem Freiraum sitzen müssen gibt es zwei Möglichkeiten, welche Schollen (wenn man diese durchnummeriert) besetzt sind:

(1, 3, 5, 7, 9, 11) oder (2, 4, 6, 8, 10, 12)

Gleichzeitig können die Pinguine noch in beliebiger Reihenfolge im Kreis sitzen, womit es \( 6! \cdot 2\) Möglichkeiten gibt, wie die Pinguine auf den Schollen nach gegebenem Muster sitzen können.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie so sitzen, beträgt also \( \frac{6! \cdot 2}{12^6} = \frac{5}{10368} \sim 0.05 \% \)

Ich bin mir bei der Rechnung jedoch sehr unsicher, passt das so?

Answer 1

2/(12!/(6!·6!)) = 1/462 = 0.002165

Comments

Könntest du deine Rechnung erklären?

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Wie viele Möglichkeiten gibt es

XXXXXXOOOOOO

anzuordnen

Mach das vielleicht auch zuerst mit

XXOO

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Aber es könnten ja auch mehrere Pinguine auf der selben Eisscholle sitzen.

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Achso. Ich habe es so interpretiert das sich jeder Eisbär eh nur auf eine Eisscholle setzt und eine Eisscholle dabei nicht von 2 Eisbären besetzt werden kann.

Normal sind solche Eisschollen ja nicht so riesig, dass darauf gleich alle 6 Pinguine platz hätten.

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Ja, das stimmt :D

Aber nein, in der Aufgabe können auch mehrere Pinguine auf einer Scholle sitzen, was das ganze deutlich schwieriger macht.

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Aber es könnten ja auch mehrere Pinguine auf der selben Eisscholle sitzen.

Wenn du das so interpretierst, dann macht deine Rechnung Sinn

2/(12^6/6!) = 0.0004822530864

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Aber nein, in der Aufgabe können auch mehrere Pinguine auf einer Scholle sitzen, was das ganze deutlich schwieriger macht.

Wenn jetzt alle Pinguine auf derselben Scholle setzen, haben sie dann genug Freiraum, weil rechts und links auf der Scholle kein Pinguin sitzt? Nach deiner Interpretation macht das ja irgendwie keinen Sinn für mich.

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An sich würde die Interpretation von dir für mich auch mehr Sinn ergeben, wenn da nicht eine zweite Teilaufgabe wäre, die folgendermaßen aussieht:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Pinguinpärchen bilden, dass also immer zwei Pinguine auf einer Eisscholle sitzen?

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Ok. Die Teilaufgabe spricht für deine Berechnung. Wobei dann zu klären ist wie das mit genug freiraum gemeint ist. Denn dann düfte sich auf der eigenen sowie auf den anliegenden Schollen kein weiterer Pinguin befinden.

Das wäre dann genau deine Rechnung.