Hallo,
das Prinzip habe ich Dir ja schon hier erklärt. Wende dies einfach konsequent an.
Hier gilt \(m \lt \sqrt{m^2 + 1} \lt m+1\) wegen \(m \in \mathbb N\)$$\alpha_0 = \sqrt{m^2+1} \implies b_0 = m \\ \alpha_1 = \frac1{\sqrt{m^2+1} - m} = \frac{\sqrt{m^2+1} + m}{m^2+1-m^2} = \sqrt{m^2+1} + m \implies b_1 = 2m \\\alpha_2 = \frac1{\sqrt{m^2+1} + m - 2m} = \alpha_1$$ Damit wiederholt sich der Wert von \(\alpha_i\) bereits ab Index 1. Daraus folgt:$$\sqrt{m^2+1} = [m;\,\overline{2m}]$$Zum Beispiel:$$\sqrt{10} = \sqrt{3^2+1} = [3;\,\overline 6] \approx 3 + \frac1{6 + \frac 16} = \frac{117}{37}$$Gruß Werner
