Kettenbruch m2+1 entwickeln

Question

m∈ℕ

Wir sollen nun $\sqrt{m^2+1}$        als Kettenbruch entwickeln.

Mir fehlt der Ansatz , wir haben bis jetzt nur Kettenbrüche von ganzen Zahlen oder Brüchen entwickelt.

Answer 1

Hallo,

das Prinzip habe ich Dir ja schon hier erklärt. Wende dies einfach konsequent an.

Hier gilt $m \lt \sqrt{m^2 + 1} \lt m+1$ wegen $m \in \mathbb N$$$\alpha_0 = \sqrt{m^2+1} \implies b_0 = m \\ \alpha_1 = \frac1{\sqrt{m^2+1} - m} = \frac{\sqrt{m^2+1} + m}{m^2+1-m^2} = \sqrt{m^2+1} + m \implies b_1 = 2m \\\alpha_2 = \frac1{\sqrt{m^2+1} + m - 2m} = \alpha_1$$ Damit wiederholt sich der Wert von $\alpha_i$ bereits ab Index 1. Daraus folgt:$$\sqrt{m^2+1} = [m;\,\overline{2m}]$$Zum Beispiel:$$\sqrt{10} = \sqrt{3^2+1} = [3;\,\overline 6] \approx 3 + \frac1{6 + \frac 16} = \frac{117}{37}$$Gruß Werner