Parabel und Sinusfunktion

Question

Aufgabe:

Parabel und Sinusfunktion

Problem/Ansatz:

Eine zur Y-Achse achsensymmetrische Parabel läuft durch den ersten Hochpunkt der Sinusfunktion Rechts des Ursprungs. Sie umschließt mit dieser eine Fläche A. Welche Fläche besitzt A?

Wie löse ich diese Aufgabe?

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet wie ich weiß: ax^2 + bx + c

Answer 1

Eine zur Y-Achse achsensymmetrische Parabel läuft durch den ersten Hochpunkt der Sinusfunktion Rechts des Ursprungs. Sie umschließt mit dieser eine Fläche A. Welche Fläche besitzt A?

Die Parabel ist nicht eindeutig definiert. Vermutung: Es ist die Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung gemeint.

Die Fläche wäre dann: A = 1 - pi/6 = 0.4764012244

Skizze:

~plot~ sin(x);4/pi^2*x^2 ~plot~

Answer 2

Eine zur Y-Achse achsensymmetrische Parabel

Dann ist

(1)        \(b = 0\).

läuft durch den ersten Hochpunkt der Sinusfunktion Rechts des Ursprungs.

Der Punkt ist \(\left(\frac{\pi}{2} | 1\right)\)

Also ist

(2)        \(a\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + b\cdot \frac{\pi}{2} + c = 1\).

Lösen des Gleichungssystems ergibt

(3)        \(c = 1-\frac{\pi^2}{4}a\).

Die Parabel hat also die Gleichung

        \(f(x) = ax^2 + 1 -\frac{\pi^2}{4}a\).

Die Fläche ist nicht eindeutig bestimmt.

Answer 3

Eine zur Y-Achse achsensymmetrische Parabel läuft durch den ersten Hochpunkt der Sinusfunktion Rechts des Ursprungs. Sie umschließt mit dieser eine Fläche A. Welche Fläche besitzt A?

1.Hochpunkt der Sinusfunktion H(\( \frac{π}{2} \)|1)

f(x)=a*x^2

f(\( \frac{π}{2} \))=a*\( \frac{π^2}{4} \)

\( \frac{π^2}{4} \)*a=1     a=\( \frac{4}{π^2} \)

f(x)=\( \frac{4}{π^2} \)*\( x^{2} \)

\( A=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin (x)-\frac{4}{\pi^{2}} \cdot x^{2}\right) \cdot d x=\left[-\cos (x)-\frac{4}{3 \pi^{2}} \cdot x^{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \)
\( =\left[-\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{4}{3 \pi^{2}} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}\right]-\left[-\cos (0)-\frac{4}{3 \pi^{2}} \cdot 0^{3}\right]=1-\frac{\pi}{6} \)