AWP, Anfangswerteproblem, Separation der Variablen

Question

Aufgabe:

Das nachfolgende Anfangswertproblem.

\( \frac{dy}{dt} \)=f(t,y):=\( \frac{1}{y^{2}} \)

y(0)=1

t∈[0,5]

1) Bestimmt werden soll die allgemeine Lösung y_a(t, C) der obigen DG durch Verwenden der Methode der Separation der Variablen.

2) Darüber hinaus soll die spezielle Lösung y_s(t) bestimmt werden, indem die freie Integrationskonstante C der allgemeinen Lösung y_a(t, C) über die gegebene Anfangsbedingung festgelegt wird.

3)Skizze der Lösung ys(t).

t∈[0,5]

Problem/Ansatz:

Bis jetzt habe ich noch keinen Ansatz, da mir die Separation der Variablen zu schaffen macht. Könnt ihr mir die Aufgabe Lösen mit einer Kurzen Erklärung zu den Rechenschritten.

Ich habe mir die Separation der Variablen bis jetzt so hergeleitet:

\( \frac{dy}{dt} \)=f(t,y), falls f(t,y)=g(t)*h(y) gilt: \( \frac{dy}{dt} \)=g(t)*h(y)

⇔\( \frac{1}{h(y)} \)dy=g(t)dt ⇒ \( \int\limits_{0}^{\infty} \)\( \frac{1}{h(y)}dy=\int\limits_{0}^{\infty} \)g(t)dt

Answer 1

Hallo

1) dy/dt=1/y^2  daraus y^2dy=dt auf beiden Seiten integrieren ergibt y^3/3=t+C nach y auflösen

Deine Formeln sind  fast richtig nur musst du dann auch hinschreiben h(y)=1/y^2, g(t)=1

und die Grenzen sind falsch, dann käme ja ne Zahl oder oo raus. Also einfach Stammfunktion bilden oder bis t integrieren .

2) mit y(0)=1 bekommst du für C=3 raus. (1/3=0+C)

Gruß lul

Comments

Vielen dank für deine Antwort, die hat mir sehr weitergeholfen.

Ich habe aber noch Fragen zu deiner Rechnung.

Wie machst du aus dy/dt=1/y2 ⇒ y^2dy=dt

In Bezug auf deine Rechnung steht ja nach y aufgelöst:

y=\( \sqrt[3]{3*C+3*t} \) oder nicht.

Wie kommst du auf C=3 ich komme auf C=1/3.

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Ich habe das so Verstanden auf einer Seite soll y stehen und auf der anderen Seite dt.

Ich würde *y² rechnen und *dt so hab ich:

y²*dy=dt

Dann integrieren.

\( \frac{y^4}{4} \)=t+C

Umstellen nach y

y=\( \sqrt[4]{(4C+4t)} \)

Das Wäre mein Ergebnis für 1)

Für 2)

y(0)=1 Einsetzen

y(0)=\( \sqrt[4]{(4C+4*0)} \)=1   Wurzel entfernen mit ^4

4*C=1⁴ Dividieren durch 4

C=1/4

Oder verstehe ich etwas Falsch ?

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Wieso wird beim Integrieren nur bei dt die Integrationskonstante C hingeschrieben und nicht bei der Integration von dy ?

Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort.

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Hallo

du kannst sie auf beiden Seiten hinschreiben, dann hast du C1 und C2

dann bringst du beide auf eine Seite und hast C=C2-C1

Deshalb kannst du auch gleich nur auf einer Seite eine Konstante haben

Gruß lul

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Danke sehr.

Ich komme beim Nachrechnen auf C=1

Mein rechenweg:

\( \frac{dy}{dt} \)=\( \frac{1}{y^2} \)

Multiplizieren mit y^2 und dt

dy*y^2=dt

Integrieren

y^3=t+C

nach y auflösen

y=\( \sqrt[3]{t+C} \) Meine Lösung für 1)

Für 2)

y(0)=1 einsetzen

y(0)=\( \sqrt[3]{0+C} \)=1

nach C auflösen

C=1

Ist das so richtig ???

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Hallo

y^2 integriert ergibt nicht y^3 sondern y^3/3 also y^3=3t+C

jetzt direkt  y(0)=1 also y^3(0)=1=C

im ersten post hatte ich y^3/3=t+C also ein anders C

mich wundert immer, wie wenig oder ungenau Antworten gelesen werden, ich hatte direkt schon die richtige Lösung gepostet, warum jetzt ne andere?

Gruss lul

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Lösung von Aufgabe 2) ist C=3 richtig ?

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Hallo

2 Möglichkeiten, wie ich schrieb_

1. y^3/3=t+C1    folgt 1/3=C1

2. y^3=3t+C2  folgt C2=1

3. c=3 ist nie richtig

Gruß lul