Ja musst du. Ich mache es mal ganz allgemein, das macht es zwar etwas abstrakt aber wenn du es verstehst, dann hast du es vermutlich danach "besser" verstanden als mit konkreten Beispielen.
Bei einer trennbaren DGL handelt es sich um eine DGL der Form
$$ x' = g(t)h(x) \tag{1} $$
oder in ausführlicher Schreibweise
$$ x'(t) = g(t)h\left( x(t) \right) $$
Beachte, dass \(x\) ist eine Funktion ist, die von \(t\) abhängt und \(x'\) hängt auch von \(t\) ab.
Falls \(h\) eine Nullstelle \(x_0\) hat, so ist \( x(t)\equiv x_0 \) eine Lösung der DGL (sofern dir das nicht klar ist, versuch es zu verstehen, bei Rückfragen melden). Um alle anderen Lösungen zu finden, kann man also nun bei (1) durch \(h(x)\) teilen und erhält so
$$ \frac{x'}{h(x)} = g(t) $$
und nach dem Hauptsach der Differential- und Integralrechnung folgt daraus
$$\int \frac{x'(t)}{h(x(t))} \, dt=\int g(t)\, dt .$$
Durch die Substitution \( u=x(t) \) erkennt man, dass dies äquivalent zu
$$ \int \frac{1}{h(u)}\, du = \int g(t) \, dt $$
ist. Sei \(G\) eine Stammfunktion von \(g\) und \(H\) eine Stammfunktion von \(\frac{1}{h}\). Dann erhält man schließlich
$$ H(u) = G(t) + c, ~c\in\mathbb{R} $$
$$\Leftrightarrow \quad H(x(t)) = G(t) + c$$
Um die Lösung \(x(t)\) zu finden, muss man also jetzt auf beiden Seiten die Umkehrfunktion von \(H\) anwenden. Voraussetzung ist natürlich, dass diese existiert. Wenn das nicht der Fall ist, kann man auf diesem Wege die Lösung nicht explizit berechnen.
