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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du musst hier ein Gleichungssystem lösen für alle \(\lambda\) lösen:$$\left(\begin{array}{rrr}\lambda-4 & -5 & -6\\0 & \lambda-3 & 0\\3 & 5 & \lambda+5\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Wir prüfen zunächst, für welche \(\lambda\) es eine eindeutige Lösung gibt. Das ist immer genau dann der Fall, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist:$$\left|\begin{array}{rrr}\lambda-4 & -5 & -6\\0 & \lambda-3 & 0\\3 & 5 & \lambda+5\end{array}\right|=(\lambda-3)\left|\begin{array}{rrr}\lambda-4 & -5 & -6\\0 & 1 & 0\\3 & 5 & \lambda+5\end{array}\right|$$$$=(\lambda-3)\cdot((\lambda-4)(\lambda+5)+18)=(\lambda-3)(\lambda^2+\lambda-2)$$$$=(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+2)\stackrel{!}{\ne}0$$
Für \(\lambda\ne3\), \(\lambda\ne1\) und \(\lambda\ne-2\) haben wir also nur genau eine Lösung, sodass der Kern für fast alle \(\lambda\) nur aus dem Nullvektor besteht.
Für \(\lambda=3\), \(\lambda=1\) oder \(\lambda=-2\) fällt aus dem Gleichungssystem immer eine Gleichung weg, sodass sich jeweils Lösungsgeraden ergeben. Ich habe raus:$$\vec n(\lambda=3)=\mu\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\mu\in\mathbb Q$$$$\vec n(\lambda=1)=\mu\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\mu\in\mathbb Q$$$$\vec n(\lambda=-2)=\mu\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\mu\in\mathbb Q$$
